Question
$2 + 4 + 7 + 11 + 16 + ......$ $n$ पदों तक =
पुन: $S = {\rm{ }}2 + 4 + 7 + 11 + ....... + {T_{n - 1}} + {T_n}$
घटाने पर, $0 = 2 + \left\{ {2 + 3 + 4 + 5 + .....({T_n} - {T_{n - 1}})} \right\} - {T_n}$
${T_n} = 2 + \frac{1}{2}(n - 1)(4 + \{ n - 2)1\} = \frac{1}{2}({n^2} + n + 2)$
अब, $S = \Sigma {T_n} = \frac{1}{2}\Sigma ({n^2} + n + 2) $
$= \frac{1}{2}(\Sigma {n^2} + \Sigma n + 2\Sigma \,1)$
$S = \frac{1}{2}\left\{ {\frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) + \frac{1}{2}n(n + 1) + 2n} \right\}$
$S = \frac{n}{{12}}\left\{ {(n + 1)(2n + 1 + 3) + 12} \right\}$
$S = \frac{n}{6}\left\{ {(n + 1)(n + 2) + 6} \right\}$
$= \frac{n}{6}({n^2} + 3n + 8)$.
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$(A)$ ऐसे $r, s \in R$, जहाँ $r < s$, का अस्तित्व (existence) है जिनके लिये $f$ खुले अंतराल (open interval) $(r, s)$ पर एकैक (one-one) है
$(B)$ ऐसे $x_0 \in(-4,0)$ का अस्तित्व है जिसके लिये $\left|f^{\prime}\left(x_0\right)\right| \leq 1$
$(C)$ $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1$
$(D)$ ऐसे $\alpha \in(-4,4)$ का अस्तित्व है जिसके लिये $f(\alpha)+f^{\prime \prime}(\alpha)=0$ और $f^{\prime}(\alpha) \neq 0$