2 ^ - 1 [ a - b a + b 2 ] = - Vidyadip

Question

$2{\tan ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}} \right] = $

✓

Answer

a
(a) $2{\tan ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}} \right]$

$ = {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 - \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \right){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \right){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right]$

$\left( {\because 2{{\tan }^{ - 1}}x = {{\cos }^{ - 1}}\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)$

$ = {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{(a + b) - (a - b){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{(a + b) + (a - b){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right]$

$ = {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a\left( {1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}} \right) + b\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}} \right)}}{{a\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}} \right) + b\left( {1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}} \right)}}} \right]$

$ = {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\frac{{a\left( {1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}} + b}}{{a + b\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right)}}} \right] $

$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a\cos \theta + b}}{{a + b\cos \theta }}} \right]$.

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प्रथम चतुर्थांश में $r_1$ तथा $r_2$ त्रिज्या के दो वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं। इनमें से प्रत्येक रेखा $\mathrm{x}+\mathrm{y}=2$ से $2$ इकाई का अंतःखंड काटता है, तो $r_1^2+r_2^2-r_1 r_2$ बराबर है :

सभी $x \varepsilon R$ के लिए, माना $[ x ]$ एक महत्तम पूर्णांक है जो $x$ के समान अथवा उससे कम है, तो $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x([x]+|x|) \sin [x]}{|x|}$ बराबर है

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1$ की उस स्पर्श रेखा का समीकरण, जो अक्षों से समान कोण बनाती है, है

बिन्दु $(h, 0)$ से गुजरने वाली ऊर्र्वाधर रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ को बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ पर काटती है। माना कि बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ बिन्दु $R$ पर मिलती है। यदि $\Delta(h)=$ त्रिभुज $P Q R$ का क्षेत्रफल $\Delta_1=\max _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ और $\Delta_2=\min _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ है, तब $\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1-8 \Delta_2=$

फलन $f(x) = \sin \frac{{\pi x}}{2} + 2\cos \frac{{\pi x}}{3} - \tan \frac{{\pi x}}{4}$ का आवर्तनांक है

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दो पाँसों को फेंका जाता है। दोनों संख्याओं का योग अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता है

यदि $\cos 2B = \frac{{\cos (A + C)}}{{\cos (A - C)}}$, तो $\tan A,\;\tan B,\;\tan C$ हैं

$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}\left(x-[x]^{2}\right) \cdot \sin ^{-1}\left(x-[x]^{2}\right)}{x-x^{3}}$, जहों $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है, का मान है

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