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STD 12 - 2. inverse trigonometric function — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 2. inverse trigonometric function4 Marks
Question
अंतराल (interval) $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ में $\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{10} \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \sec \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)\right)$ का मान बराबर है
✓

Answer

$\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{10} \frac{1}{\cos \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{12}\right) \cos \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)}\right) $
$ =\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{10} \frac{\sin \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}-\left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right)\right)}{\cos \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)}\right) $
$ =\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4}\left(\sum_{k=0}^{10} \tan \left(\frac{7 \pi}{12}+(k+1) \frac{\pi}{2}\right)-\tan \left(\frac{7 \pi}{12}+\frac{k \pi}{2}\right)\right)\right) $
$=\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4}\left(\tan \left(\frac{11 \pi}{2}+\frac{7 \pi}{12}\right)-\tan \left(\frac{7 \pi}{12}\right)\right)\right) $
$ =\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4}\left(-\cot \frac{7 \pi}{12}-\tan \frac{7 \pi}{12}\right)\right) $
$ =\sec ^{-1}\left(\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{\sin \frac{7 \pi}{12} \cos \frac{7 \pi}{12}}\right)\right) $
$ =\sec ^{-1}\left(-\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sin \frac{7 \pi}{6}}\right)$
$=\sec ^{-1}(1)=0.00 $

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