Question
cos x में कौन से फलन (0, $\frac{\pi}{2}$) में ह्रासमान है?

Answer

मान लीजिए f(x) = cos x, तब f$^{\prime}$(x) = - sin x, अतः अंतराल (0, $\frac{\pi}{2}$) में, f$^{\prime}$(x) < 0 इसलिए, (0, $\frac{\pi}{2}$) पर f(x) निरंतर ह्नासमान है।

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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}} d x$
मान लीजिए कि A किसी बालकों के स्कूल के सभी विद्यार्थियों का समुच्चय है। दर्शाइए कि R = (a, b): a, b की बहन है द्वारा प्रदत्त संबंध एक रिक्त संबंध है तथा $\mathrm{R}^{\prime}=\{(a, b) : a$ तथा b की ऊँचाईयों का अंतर 3 मीटर से कम है द्वारा प्रदत्त संबंध एक सार्वत्रिक संबंध है।
$\operatorname{cosec}^{-1}(-\sqrt{2})$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।
सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन y = x sin 3x (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ + 9y - 6 cos 3x = 0 का हल है।
फलन का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए: sin mx
20m/s उत्तर की ओर माप को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि (a, b) $\rightarrow$ अधिकतम {a, b} द्वारा परिभाषित $\vee: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ तथा (a, b) $ \rightarrow$ निम्नतम {a, b} द्वारा परिभाषित $\wedge: \mathbf{R} \times \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ द्विआधारी संक्रियाएँ हैं।
मान लीजिए कि$\mathrm{Y}=\left\{n^{2}: n \in \mathbf{N}\right\} \subset \mathbf{N}$ है। फलन f : $\mathbf{N} \rightarrow \mathrm{Y}$ जहाँ $f(n) = n^2$​​​​​​​ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि $f : \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{R}, f(x) = 4x^2+ 12x + 15$ द्वारा परिभाषित एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f : \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{S}$, जहाँ $S, f$ का परिसर है, व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए।
अवकल समीकरण $\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}-4\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+7 y$ = sin x की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।