Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 10गणितवास्तविक संख्याएँ4 Marks
Question
दर्शाइए कि 5 - $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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Answer
आइए इसके विपरीत मान लें कि 5 - $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। अर्थात् हम सहअभाज्य ऐसी संख्याएँ a और b(b $\neq$ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 5 - $\sqrt{3}$ = $\frac{a}{b}$ हो। अत: 5 - $\frac{a}{b}$ = $\sqrt{3}$ है। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है: $\sqrt{3}$ = 5 - $\frac{a}{b}$ चूँक a और b पूर्णांक हैं, इसलिए 5 - $\frac{a}{b}$ एक परिमेय संख्या है अर्थात् $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि 5 - $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 5 - $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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