Integrals — Maths STD 12 Science — Question

$=\int \frac{1}{\sqrt{tanx}} + \sqrt{tanx} \ [\because cotx = \frac {1}{tanx}]$
$ = \int \sqrt { \tan x } \Bigg[1 +\frac {1}{\Big(\sqrt { \tan x }\Big)^2}\Bigg] d x$
put $ tan x = t^2 \implies sec^2 x dx = 2t dt$
$ \Rightarrow \quad d x = \frac { 2 t } { sec^2x}dt$

$ \Rightarrow \quad d x = \frac { 2 t } { 1 +tan^2x }dt$$[ \because 1 + \tan ^ { 2 } x = \sec ^ { 2 } x]$

$ \Rightarrow \quad d x = \frac { 2 t } { 1 + (t ^ { 2 })^2 }$$[ tan x = t^2 ]$

$ \Rightarrow \quad d x = \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 4 } }$
$ \therefore \quad I = \int t \left( 1 + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right) \frac { 2 t } { \left( 1 + t ^ { 4 } \right) } d t [\because tanx =t^2 \implies \sqrt {tanx} = t]$
$ = 2 \int \frac { t ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 4 } + 1 } d t$
On dividing numerator and denominator by $t^2$ , we get
$ I = 2 \int \frac { \left( 1 + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right) } { \left( t ^ { 2 } + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right) } d t $

$= 2 \int \frac { 1 + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } { t ^ { 2 } + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } - 2 + 2 } d t$
$ = 2 \int \frac { \left( 1 + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right) } { \left( t - \frac { 1 } { t } \right) ^ { 2 } + 2 } d t$
Again, put $ t-\frac { 1 } { t } = y \Rightarrow \left( 1 + \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \right) d t = d y$
$ \therefore I = 2 \int \frac { d y } { y ^ { 2 } + ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } $

$ I = \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } \tan ^ { - 1 } \frac { y } { \sqrt { 2 } } + C$$ \left[ \because \int \frac { d x } { \sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { a } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { x } { a } \right) + c \right]$
$ = \sqrt { 2 } \tan ^ { - 1 } \frac { \left( t - \frac { 1 } { t } \right) } { \sqrt { 2 } } + C \quad \left[ \text { put } y = t - \frac { 1 } { t } \right]$
$ = \sqrt { 2 } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { t ^ { 2 } - 1 } { \sqrt { 2 } t } \right) + C$
$ = \sqrt { 2 } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \tan x - 1 } { \sqrt { 2 \tan x } } \right) + C$ $[Put \ t^2 = tan x]$

$I = \sqrt { 2 } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \tan x - 1 } { \sqrt { 2 \tan x } } \right) + C$