Find (x+1)^6+(x-1)^6. Hence or otherwise evaluate ( 2+1)^6+( 2-1)…

Question

Find $(\text{x}+1)^6+(\text{x}-1)^6.$ Hence or otherwise evaluate $(\sqrt2+1)^6+(\sqrt2-1).$

✓

Answer

We have,
$(\text{x}+1)^6+(\text{x}-1)^6$
$=\Big[{^6\text{C}}_0\text{x}^6+{^6\text{C}}_1\text{x}^5+{^6\text{C}}_2\text{x}^4+{^6\text{C}}_3\text{x}^3+{^6\text{C}}_4\text{x}^2+{^6\text{C}}_5\text{x}^1+{^6\text{C}}_6\text{X}^0\big]\\+\big[{^6\text{C}}_0\text{x}^6(-1)^0+{^6\text{C}}_1\text{x}^5(-1)^1+{^6\text{C}}_2\text{x}^4(-1)^2+{^6\text{C}}_3\text{x}^3(-1)^3\\+{^6\text{C}}_4\text{x}^2(-1)^4+{^6\text{C}}_5\text{x}^1(-1)^5+{^6\text{C}}_6\text{x}^0(-1)^6\big]\\{^6\text{C}}_0\text{x}^6-{^6\text{C}}_1\text{x}^5+{^6\text{C}}_2\text{x}^4-{^6\text{C}}_3\text{x}^3+{^6\text{C}}_4\text{x}^2-{^6\text{C}}_5\text{x}+{^\text{C}}_6\Big]$
$=\Big[{^6\text{C}}_0\text{x}^6+{^6\text{C}}_1\text{x}^5+{^6\text{C}}_2\text{x}^4+{^6\text{C}}_3\text{x}^3+{^6\text{C}}_4\text{x}^2+{^6\text{C}}_5\text{x}+{^6\text{C}}_6\\{^6\text{C}}_0\text{x}^6-{^6\text{C}}_1\text{x}^5+{^6\text{C}}_2\text{x}^4-{^6\text{C}}_3\text{x}^3+{^6\text{C}}_4\text{x}^2-{^6\text{C}}_5\text{x}+{^6\text{C}}_6\Big]$
$=2\big[{^6\text{C}}_0\text{x}^6+{^6\text{C}}_2\text{x}^4+{^6\text{C}}_4\text{x}^2+{^6\text{C}}_6\big]$
$=2\big[\text{x}^6+15\text{x}^4+15\text{x}^2+1\big]$
$\therefore(\text{x}+1)^6+(\text{x}-1)^6=2\big[\text{x}^6+15\text{x}^4+15\text{x}^2+1\big]...(\text{i})$
Putting $\text{x}=\sqrt2$ in equation (i), we get
$(\text{x}+1)^6+(\text{x}-1)^6=2\big[(\sqrt2)^6+15(\sqrt2)^4+15(\sqrt2)^2+1\big]$
$=2\big[8+60+30+1\big]$
$=2\big[99\big]$
$=198$
$\therefore(\text{x}+1)^6+(\text{x}-1)^6=198$