Question
फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: sin4x
✓
Answer
$∫$sin4x dx = $∫$(sin2x)2dx $=\int\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^{2}$ ($\because$ sin2x = $\frac{1 - cos2x}{2}$)
$d x=\frac{1}{4} $ $∫$(1 − cos2 x)2dx $=\frac{1}{4} $ $∫$1 + cos2 2x − 2cos 2x dx
$=\frac{1}{4}$ [$∫$1dx + $∫$cos2 2x dx − 2$∫$cos 2x dx]
$=\frac{1}{4}$ $\left(\int 1 d x+\int \frac{1+\cos 4 x}{2} d x-2 \int \cos 2 x d x\right)$ ($\because$ cos2x = $\frac{1 + cos 2x}{2}$)
$=\frac{1}{4}$ [$\int$1dx + $\frac{1}{2}$ ($\int$1dx + $\int$cos 4x dx) - 2$\int$cos 2x dx]
$=\frac{1}{4}$ [x + $\frac{1}{2}$ (x + $\frac{sin 4x}{32}$) - $\frac{2sin \ 2x}{x}$] + C
$=\frac{1}{4} x+\frac{x}{8}$ $+\frac{\sin 4 x}{32}-\frac{\sin 2 x}{4}$ + C
$=\left(\frac{2 x+x}{8}\right)$ $+\frac{\sin 4 x}{32}-\frac{\sin 2 x}{4}$ + C $=\left(\frac{3 x}{8}+\frac{\sin 4 x}{32}-\frac{\sin 2 x}{4}\right)$ + C
$d x=\frac{1}{4} $ $∫$(1 − cos2 x)2dx $=\frac{1}{4} $ $∫$1 + cos2 2x − 2cos 2x dx
$=\frac{1}{4}$ [$∫$1dx + $∫$cos2 2x dx − 2$∫$cos 2x dx]
$=\frac{1}{4}$ $\left(\int 1 d x+\int \frac{1+\cos 4 x}{2} d x-2 \int \cos 2 x d x\right)$ ($\because$ cos2x = $\frac{1 + cos 2x}{2}$)
$=\frac{1}{4}$ [$\int$1dx + $\frac{1}{2}$ ($\int$1dx + $\int$cos 4x dx) - 2$\int$cos 2x dx]
$=\frac{1}{4}$ [x + $\frac{1}{2}$ (x + $\frac{sin 4x}{32}$) - $\frac{2sin \ 2x}{x}$] + C
$=\frac{1}{4} x+\frac{x}{8}$ $+\frac{\sin 4 x}{32}-\frac{\sin 2 x}{4}$ + C
$=\left(\frac{2 x+x}{8}\right)$ $+\frac{\sin 4 x}{32}-\frac{\sin 2 x}{4}$ + C $=\left(\frac{3 x}{8}+\frac{\sin 4 x}{32}-\frac{\sin 2 x}{4}\right)$ + C
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