For any three vectors a , b , c the expression ( a - b ). ( b - c ) ( c - a ) equals:

For any three vectors a , b , c the expression ( a - b ). ( b - c…

MCQ

For any three vectors $\vec{\text{a}},\vec{\text{b}},\vec{\text{c}}$ the expression $\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big\{\big(\vec{\text{b}}-\vec{\text{c}}\big)\times\big(\vec{\text{c}}-\vec{\text{a}}\big)\big\}$ equals:

A
$\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\big]$
B
$2\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\big]$
C
$\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}]}^2$
✓
None of these

✓

Answer

Correct option: D.

None of these

We have
$\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big[\big(\vec{\text{b}}-\vec{\text{c}}\big)\times\big(\vec{\text{c}}-\vec{\text{a}}\big)\big]$
$=\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big[\big(\vec{\text{b}}-\vec{\text{c}}\big)\times\vec{\text{c}}-\big(\vec{\text{b}}-\vec{\text{c}}\big)\times\vec{\text{a}}\big]$
$=\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big(\vec{\text{b}}\times\vec{\text{c}}-\vec{\text{c}}\times\vec{\text{c}}-\vec{\text{b}}\times\vec{\text{a}}+\vec{\text{c}}\times\vec{\text{a}}\big)$
$=\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big(\vec{\text{b}}\times{\vec{\text{c}}}-0-\vec{\text{b}}\times\vec{\text{a}}+\vec{\text{c}}\times\vec{\text{a}}\big)$
$=\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big(\vec{\text{b}}\times\vec{\text{c}}\big)-\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big(\vec{\text{b}}\times\vec{\text{a}}\big)+\big(\vec{\text{a}}-\vec{\text{b}}\big).\big(\vec{\text{c}}\times\vec{\text{a}}\big)$
$=\vec{\text{a}}.\big(\vec{\text{b}}\times\vec{\text{c}}\big)-\vec{\text{b}}\big(\vec{\text{b}}\times\vec{\text{c}}\big)-\vec{\text{a}}\big(\vec{\text{b}}\times\vec{\text{a}}\big)\\+\vec{\text{b}}.\big(\vec{\text{b}}\times\vec{\text{a}}\big)+\vec{\text{a}}.\big(\vec{\text{c}}\times\vec{\text{a}}\big)-\vec{\text{b}}.\big(\vec{\text{c}}\times\vec{\text{a}}\big)$
$=\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\big]-0-0+0+0-\big[\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\vec{\text{a}}\big]$ $\big(\therefore\big[\vec{\text{b}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\big]=\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{a}}\big]=\big[\vec{\text{b}}\vec{\text{b}}\vec{\text{a}}\big]=0\big)$
$=\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\big]-\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\big]$ $\big(\therefore\big[\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\big]=\big[\vec{\text{b}}\vec{\text{c}}\vec{\text{a}}\big]=\big[\vec{\text{c}}\vec{\text{a}}\vec{\text{b}}\big]\big)$
$=0$