Question
$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0 \\ 0\end{array}, x=0\right.$ पर सांतत्य का परीक्षण कीजिये।
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Answer
दिया गया फ्लन $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0 \\ 0 & , x=0\end{array}, x=0\right.$ पर सांतत्य है।
$\therefore$ दायीं सीमा (R.H.L.) का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0+h) e^{\frac{1}{0+h}}}{1+e^{\frac{1}{0+h}}}$
$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h e^{\frac{1}{h}}}{e^{\frac{1}{h}}\left[\left(\frac{1}{e^{\frac{1}{h}}}+1\right)\right]}$
$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{\frac{1}{e^{1 / h}}+1}=\frac{0}{\frac{1}{\infty}+1}=\frac{0}{0+1}$
$=\frac{0}{1}=0$
बारीं सीमा (L.H.L.) का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0-h) e^{\frac{1}{0-h}}}{1+e^{\frac{1}{0-h}}}$
$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-h e^{-1 / h}}{1+e^{-1 / h}}=\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{(-h) \frac{1}{e^{1 / 6}}}{1+\frac{1}{e^{1 / h}}}\right.$
$=\frac{0}{1}=0$
फलन का मान $f(0)=0$
$\because \lim _{h \rightarrow 0} f(0+h)-\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h)-f(0)$
$\therefore$ फलन $x=0$ पर संतत है।
$\therefore$ दायीं सीमा (R.H.L.) का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0+h) e^{\frac{1}{0+h}}}{1+e^{\frac{1}{0+h}}}$
$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h e^{\frac{1}{h}}}{e^{\frac{1}{h}}\left[\left(\frac{1}{e^{\frac{1}{h}}}+1\right)\right]}$
$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{\frac{1}{e^{1 / h}}+1}=\frac{0}{\frac{1}{\infty}+1}=\frac{0}{0+1}$
$=\frac{0}{1}=0$
बारीं सीमा (L.H.L.) का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(0-h) e^{\frac{1}{0-h}}}{1+e^{\frac{1}{0-h}}}$
$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-h e^{-1 / h}}{1+e^{-1 / h}}=\lim _{h \rightarrow 0}\left\{\frac{(-h) \frac{1}{e^{1 / 6}}}{1+\frac{1}{e^{1 / h}}}\right.$
$=\frac{0}{1}=0$
फलन का मान $f(0)=0$
$\because \lim _{h \rightarrow 0} f(0+h)-\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h)-f(0)$
$\therefore$ फलन $x=0$ पर संतत है।
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