_ ^ 32 x^3 ( x) ^2 dx = - Vidyadip

MCQ

$\int_{}^{} {32{x^3}{{(\log x)}^2}dx} $ =

✓
${x^4}\{ 8{(\log x)^2} - 4(\log x) + 1\} + c$
B
${x^3}\{ {(\log x)^2} + 2\log x\} + c$
C
${x^4}\{ 8{(\log x)^2} - 4\log x\} + c$
D
$8{x^4}{(\log x)^2} + c$

✓

Answer

Correct option: A.

${x^4}\{ 8{(\log x)^2} - 4(\log x) + 1\} + c$

a
(a) Let $I = \int_{}^{} {32{x^3}{{(\log x)}^2}} dx = 32\int_{}^{} {{x^3}{{(\log x)}^2}dx} $
$ = 32\,\left[ {{{(\log x)}^2}\int_{}^{} {{x^3}dx - \int_{}^{} {\left( {\frac{d}{{dx}}{{(\log x)}^2}\int_{}^{} {{x^3}dx} } \right)\,dx} } } \right]$
$ = 32\,\left[ {{{(\log x)}^2}.\frac{{{x^4}}}{4} - \int_{}^{} {2\log x.\frac{1}{x}.\frac{{{x^4}}}{4}dx} } \right]$
$ = 32\left[ {{{(\log x)}^2}\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{1}{2}\int_{}^{} {{x^3}\log x\,dx} } \right]$
$ = 32\left[ {\frac{{{{(\log x)}^2}{x^4}}}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{\log x.{x^4}}}{4} - \int_{}^{} {\frac{1}{x}.\frac{{{x^4}}}{4}} {\rm{ }}dx} \right)} \right]$
$ = 32\left[ {\frac{{{{(\log x)}^2}{x^4}}}{4} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^4}\log x}}{4} - \frac{1}{4}.\frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right] + c$
$ = 8\,\left[ {{{(\log x)}^2}{x^4} - \frac{1}{2}\left( {{x^4}\log x - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right] + c$
$ = 8{x^4}\left[ {{{(\log x)}^2} - \frac{{\log x}}{2} + \frac{1}{8}} \right] + c$
$ = {x^4}[8{(\log x)^2} - 4\log x + 1] + c$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.1 inderfinite integral→7.1 inderfinite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

એક સમધનની બાજુ 5 સેમી/સેકન્ડના દરથી વઘે છે.જયારે બાજુની લંબાઈ 12 સેમી હોય ત્યારે તેના ધનફળ વધવાનો દ૨ ..........સેમી³/સેકન્ડ થાય.

$\int {\frac{{2\,\,dx}}{{\sqrt {1 - 4{x^2}} }}} $ =

જો વિધેય $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}k_{1}(x-\pi)^{2}-1, & x \leq \pi \\ k_{2} \cos x, & x>\pi\end{array}\right.$ એ બે વાર વિકલનીય હોય તો $\left( k _{1}, k _{2}\right)$ ની કિમત શોધો

જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\5&0&7\\6&2&5\end{array}} \right]$ અને $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&5\\0&0&2\end{array}} \right]$, તો કયું વિધાન વ્યાખ્યાયિત થાય શકે $?$

The probabilities of Virat become man of the match in $1^{st}, 2^{nd}$ and $3^{rd}$ match of India in world cup $2015$ are $\frac{3}{7},\frac{2}{7}$&$\frac{1}{7}$ respecitvely. If Virat got a man of the match in exactly one match, then what is the probability that he got man of the match in $3^{rd}$ match, is -

વિકલ સમીકરણ જેનો ઉકેલ $A x^2+B y^2=1$ છે .તેની કક્ષા તથા પરિણામ અનુક્રમે ____________ છે. જ્યાં A અને B સ્વૈર અચળાંકો છે .

If $(1 + 3p)/3,\,\,(1 - p)/4$ and $(1 - 2p)/2$ are the probabilities of three mutually exclusive events, then the set of all values of $p$ is

એક કણએ એક રેખા પર ગતિ કરે છે અને તેનો વેગ $\frac{{dx}}{{dt}} = x + 1$ ($x$ એ અંતર દર્શાવે છે ) વડે આપેલ છે .તો કણને $99$ મીટર અંતર કાપતા લાગતો સમય મેળવો.

બે પથ્થર કે જેને વારાફરતી લંબરૂપે ઉપર ફેકવામાં આવે છે તેના ગતિના સમીકરણો અનુક્રમે $s = 19.6t - 4.9t^2 $ અને $s = 9.8t - 4.9t^2$ છે. પ્રથમ પથ્થરની મહત્તમ ઊચાઇ $h $ છે. જ્યારે પ્રથમ પથ્થર મહત્તમ ઊચાઇએ હોય ત્યારે બીજા પથ્થરની ઊચાઇ =...

$2{\tan ^{ - 1}}(\cos x) = {\tan ^{ - 1}}({\rm{cose}}{{\rm{c}}^2}x),$ તો $ x =$