Question
$\int_{}^{} {\frac{{\log x}}{{{{(1 + \log x)}^2}}}dx = } $
$1 + \log x = t $ रखने पर $\frac{1}{x}dx = dt$
$ \Rightarrow dx = x\,dt = {e^{t - 1}}dt,$
$\int_{}^{} {\frac{{(t - 1)\,{e^{t - 1}}}}{{{t^2}}}dt} = \int_{}^{} {{e^{t - 1}}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)\,dt} = \frac{{{e^{t - 1}}}}{t} = \frac{x}{{1 + \log x}} + c$.
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| $x=-1$ | $x=0$ | $x=2$ | |
| $f(x)$ | $3$ | $6$ | $0$ |
| $g(x)$ | $0$ | $1$ | $-1$ |
यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)
$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं
$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है
$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है
$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है