MCQ
$ \int e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x= $ __________ +c
- ✓$e^x \tan \frac{x}{2}$
- B$e^r \tan x$
- C$e^x \cot \frac{x}{2}$
- D$e^{\frac{x}{2}} \tan \frac{x}{2}$
✓
Answer
Correct option: A.
$e^x \tan \frac{x}{2}$
(A) $e^x \tan \frac{x}{2}$
$I=\int e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x$
$=\int e^x\left(\frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}\right) d x$
$\begin{array}{l}=\int e^x\left(\frac{1}{2} \sec ^2 \frac{x}{2}+\tan \frac{x}{2}\right) d x \\ =\int e^x\left(\tan \frac{x}{2}+\frac{d}{d x}\left(\tan \frac{x}{2}\right)\right) d x \\ =e^x \tan \frac{x}{2}+c\end{array}$
$I=\int e^x\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) d x$
$=\int e^x\left(\frac{1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}\right) d x$
$\begin{array}{l}=\int e^x\left(\frac{1}{2} \sec ^2 \frac{x}{2}+\tan \frac{x}{2}\right) d x \\ =\int e^x\left(\tan \frac{x}{2}+\frac{d}{d x}\left(\tan \frac{x}{2}\right)\right) d x \\ =e^x \tan \frac{x}{2}+c\end{array}$
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
સમીકરણો : $x + ay = 0$, $y + az = 0$ and $z + ax = 0$ આપેલ છે તો $'a'$ ની વાસ્તવિક કિમંતો નો ગણ મેળવો કે જેથી સમીકરણો ને અનન્ય ઉકેલ હોય.
→જો $A^2=\begin{bmatrix}-1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & -2\\ 2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ તો $adj A=............$
→જો $f\left( a \right) = 2,f'\left( a \right) = 1,g\left( a \right) = - 1,g'\left( a \right) = 2$ હોય તો $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g\left( x \right)f\left( a \right) - g\left( a \right)f\left( x \right)}}{{x - a}}$ ની કિંમત
→જો રેખાઓ $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{3}$ અને $\frac{x+2}{2}=\frac{y-k}{3}=\frac{z}{4}$ સમતલીય હોય ,તો $k=\ ......$
→વિધેય $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x} & {,} & {0 \leq x < \frac{1}{2}} \\ {\frac{1}{2}} & {,} & {x=\frac{1}{2}} \\ {1-x} & {,} & {\frac{1}{2} < x \leq 1}\end{array}\right.$ અને $g(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}, x \in R $ આપેલ છે. તો વક્રો $y=f(x)$ અને $y=g(x)$ દ્વારા રેખાઓ $2 \mathrm{x}=1$ અને $2 \mathrm{x}=\sqrt{3},$ વચ્ચે આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.
→એક સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નના સીમિત શકય ઉકેલ પ્રદેશનો આલેખ આપેલ છે તો હેતુલક્ષી વિધેય $z=3 x-4 y$ નું મહત્તમ કિમત ......છે
→$\int_0^{\frac{2 \pi}{3}} \sqrt{1+\cos 2 x} d x=$ $\qquad$
→$\frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} d x$ નું મૂલ્ય $.............$ છે.
→$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {1 - {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)$ અને $p = {\cos ^{ - 1}}{x^2}$ તો $\frac{{dy}}{{dp}} = .......$
→જો $a \neq 0, b \neq 0 $ અને $|a + b| = |a - b|$ તો સદિશો $a$ અને $b$ એ . . . .
→