Question
$\int_{}^{} {\log (x + 1)dx = } $

Answer

a
(a)$\int_{}^{} {\log (x + 1)\,dx} = x\log (x + 1) - \int_{}^{} {\frac{x}{{x + 1}}\,dx + c} $$ = x\log (x + 1) - x + \log (x + 1) + c = (x + 1)\log (x + 1) - x + c$.

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एक रेखा $AB$, $x$-अक्ष तथा $y$-अक्ष से शून्य अन्त:खण्ड काटती है तथा यह एक अन्य रेखा $CD \equiv 3x + 4y + 6 = 0$ के लम्बवत् हैं, तब रेखा $AB$ का समीकरण है  
उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसकी नाभियाँ के बीच की दूरी $8$ एवं नियताओं के बीच की दूरी $18$ है, होगा   
यदि $[ t ]$ महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है तब समाकलन $\int \limits_0^1\left[-8 x ^2+6 x -1\right] dx$ का मान होगा:-
एक समुच्चय में $(2n + 1)$ अवयव हैं इस समुच्चय के ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या, जिनमें अधिकतम  $n$अवयव हों, होगी
माना फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3+(2 \mathrm{p}-7) \mathrm{x}^2+3(2 \mathrm{p}-9) \mathrm{x}-6$ का एक उच्चिष्ठ किसी $\mathrm{x}<0$ पर है तथा एक निम्निष्ठ किसी $\mathrm{x}>0$ पर है। तो $\mathrm{p}$ के सभी मानों का समुच्चय है -
यदि $R$ एक चकती $(disc)$ $x^2+y^2 \leq 1$ के प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्र है | तब $R$ के अन्तर्गत स्थित सबसे  बड़े वृत्त का क्षेत्रफल होगा
माना फलन $(-1,1) \rightarrow R$ तथा $g :(-1,1) \rightarrow(-1,1)$ हैं जो

$f(x)=|2 x -1|+|2 x +1|$ तथा $g ( x )= x -[ x ]$,

जहाँ $[ x ], x$ से कम या बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शांता है। माना $f \circ g:(-1,1) \rightarrow R$ संयुक्त फलन है जो $(f \circ g)( x )=f( g ( x ))$ द्वारा परिभाषित है। माना अन्तराल $(-1,1)$ में बिन्दुओं की संख्या $c$ है जिसपर $f \circ g$ संतत् नहीं है तथा माना अन्तराल $(-1,1)$ में बिन्दुओं की संख्या $d$ है जिस पर $f \circ g$ अवकलनीय नहीं है। तब $c + d$ का मान होगा

$x$ तथा $y$ के प्रद्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?

$\left[\begin{array}{cc}3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & y-2 \\ 8 & 4\end{array}\right]$

$\sum_{ i =1}^{20}\left(\frac{{ }^{20} C _{ i -1}}{{ }^{20} C _{ i }+{ }^{20} C _{ i -1}}\right)^{3}=\frac{ k }{21}$, तो $k$ बराबर है 
अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 3$ के बिन्दु  $(6, 4)$  पर अभिलम्ब का समीकरण होगा