_ ^ x e^ x ;dx = - Vidyadip

Question

$\int_{}^{} {\sqrt x {e^{\sqrt x }}\;dx = } $

✓

Answer

b
(b) $I = \int_{}^{} {\sqrt x .{e^{\sqrt x }}} dx$माना $x = {t^2} \Rightarrow dx = 2t\,dt$
$\therefore I = 2\int_{}^{} {{t^2}} \,.\,{e^t}dt$ ==> $I = 2({t^2}.{e^t} - 2t{e^t} + 2{e^t}] + c$
==> $I = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\log \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{{3\pi }}{8}} \right)\,} \right| + c$
अर्थात्, $I = {e^{\sqrt x }}[2x - 4\sqrt x + 4] + c$.

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माना $U = \{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10\} $, $A = \{ 1,\,2,\,5\} ,\,B = \{ 6,\,7\} $, तब $A \cap B'$ है

$1$ से $1000$ तक के पूर्णांकों को क्रम से लिखने पर अंक $3$ ,.......... बार लिखा जायेगा।

यदि अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+p(x) y=\frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x, 0$ $ < x < \frac{\pi}{2}$, का हल $y =\left(\frac{2}{\pi} x -1\right) \operatorname{cosec} x$ है, तो फलन $p ( x )$ बराबर है

क्षेत्र $A =\{( x , y ):( x -1)[ x ] \leq y \leq 2 \sqrt{ x }, 0 \leq x \leq 2\}$, जहाँ [ $t ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, का क्षेत्रफल ( वर्ग इकाईयों में) है

$A$ तथा $B$ दो ऐसी घटनाएँ हैं कि $P\,(A) = \frac{1}{3}$, $P\,(B) = \frac{1}{4}$ तथा $P\,(A \cap B) = \frac{1}{5},$ तब $P\,\left( {\frac{{\overline B}}{{\overline A}}} \right) = $

माना $\mathrm{I}(\mathrm{x})=\int \sqrt{\frac{\mathrm{x+7}}{\mathrm{x}}} d \mathrm{x}$ तथा $\mathrm{I}(9)=12+7 \log _{\mathrm{e}} 7$ है। यदि $\mathrm{I}(1)=\alpha+7 \log _{\mathrm{e}}(1+2 \sqrt{2})$ है, तो $\alpha^4$ बराबर है_____________.

अवकल समीकरण $\cos x\frac{{dy}}{{dx}} + y\sin x = 1$ का समाकलन गुणांक है

द्विघात समीकरण $n x^2+7 \sqrt{n} x+n=0$ में $n$ एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है. निम्नलिखित में कौन सा कधन निध्रित रूप से सत्य है ?

$I$. किसी भी $n$ के लिए, समीकरण के मूल भिन्न होंगे,

$II$. $n$ के अन्नत मान होंगे यदि दोनों मूल वास्तबिक है.

$III$. मूलों का गुणनफल निश्रय ही एक पूर्णांक है.

माना कि $R ^3$ में $\hat{u}=u_1 \hat{i}+u_2 \hat{j}+u_3 \hat{k}$ एक मात्रक सदिश (unit vector) है और $\hat{w}=\frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$ है। दिया हुआ है कि $R ^3$ में सदिश $\vec{v}$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $|\hat{u} \times \vec{v}|=1$ और $\dot{\hat{w}} \cdot(\hat{u} \times \dot{\vec{v}})=1$ है। निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सही है (हैं)?

$(A)$ इस प्रकार के $\vec{v}$ के लिए ठीक एक (exactly one) चयन संभव है

$(B)$ इस प्रकार के $\vec{v}$ के लिए अनन्त (infinitely many) चयन संभव हैं

$(C)$ यदि $\hat{u} x y$-समतल पर है तब $\left|u_1\right|=\left|u_2\right|$ है

$(D)$ यदि $\hat{u} x z$-समतल पर है तब $2\left|u_1\right|=\left|u_3\right|$ है

$10$ प्रेक्षणों $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots, \mathrm{x}_{10}$ के लिए $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\alpha\right)=2$ तथा $\sum_{i=1}^{10}\left(x_i-\beta\right)^2=40$ हैं, जहाँ $\alpha$ तथा $\beta$ धनात्मक पूर्णांक है। माना इन प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $\frac{6}{5}$ तथा $\frac{84}{25}$ है। तो $\frac{\beta}{\alpha}$ बराबर है: