_0^ 2 1+ x d x का मान लिखिए। - Vidyadip

Question

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin x} d x$ का मान लिखिए।

✓

Answer

माना $I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin x} d x$
$\quad$$\quad$$\quad$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} d x$
$\quad$$\quad$$\quad$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right) d x$
$\quad$$\quad$$\quad$$=\left[-\frac{\cos \frac{x}{2}}{1 / 2}+\frac{\sin \frac{x}{2}}{1 / 2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2\left[\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2\left[\left(\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}\right)-(\sin 0-\cos 0)\right]$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-(0-1)\right]$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 5 अंक का हे)" from समाकलन→समाकलन — all question types→गणित कक्षा 12 साइन्स question papers→CBSE Board कक्षा 12 साइन्स question papers→CBSE Board question paper generator→

Similar questions

परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}-4\right)}$

उत्पादन संबंधी समस्या (Manufacturing Problem) एक निर्माणकर्ता कंपनी एक उत्पाद के दो नमूने (प्रतिमान) A और B बनाती है। नमूना A के प्रत्येक नग बनाने के लिए 9 श्रम घंटे और 1 घंटा पॉलिश करने के लिए लगता है जबकि नमूना B के प्रत्येक नग के बनाने में 12 श्रम घंटे तथा पॉलिश करने में 3 श्रम घटों की आवश्यकता होती है। बनाने तथा पॉलिश करने के लिए उपलब्ध अधिकतम श्रम घंटे क्रमशः 180 तथा 30 हैं। कंपनी नमूना A के प्रत्येक नग पर ₹ 8000 तथा नमूना B के प्रत्येक नग पर ₹12000 का लाभ कमाती है। नमूना A और नमूना B के कितने नगों का अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रति सप्ताह निर्माण करना चाहिए? प्रति सप्ताह अधिकतम लाभ क्या है?

तीन अभिन्न डिब्बे I, II और III दिए गए हैं जहाँ प्रत्येक में दो सिक्के हैं। डिब्बे I में दोनों सिक्के सोने के है, डिब्बे II में दोनों सिक्के चाँदी के हैं और डिब्बे III में एक सोने और एक चाँदी का सिक्का है। एक व्यक्ति यादृच्छया एक डिब्बा चुनता है और उसमें से यादृच्छया एक सिक्का निकालता है। यदि सिक्का सोने का है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि डिब्बे में दूसरा सिक्का भी सोने का ही है?

एक बोल्ट बनाने के कारखाने में मशीनें (यंत्र) $A, B$ और $C$ कुल उत्पादन का क्रमशः $25\%, 35\%$ और $40\%$ बोल्ट बनाती हैं। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः $5, 4$, और $2$ प्रतिशत भाग खराब (त्रुटिपूर्ण) हैं। बोल्टों के कुल उत्पादन में से एक बोल्ट यादृच्छया निकाला जाता है और वह खराब पाया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बोल्ट मशीन $B$ द्वारा बनाया गया है?

दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\geq$ 100, 2x - y $\leq$ 0, 2x + y $\leq$ 200; x, y $\geq$ 0

फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए-
$\frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)}$

समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए। $x - y + z = 4 , 2x + y - 3z = 0 , x + y + z = 2$

योगों की सीमा के रूप में $\int_{1}^{4}\left(x^{2}-x\right) d x$ के निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।

एक प्रकार के केक को 200 ग्राम आटा तथा 25 ग्राम वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 ग्राम आटा तथा 50 ग्राम वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी।

एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।