_0^ 2 1+ x d x का मान लिखिए। - Vidyadip

Question

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin x} d x$ का मान लिखिए।

✓

Answer

माना $I =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\sin x} d x$
$\quad$$\quad$$\quad$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} d x$
$\quad$$\quad$$\quad$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right) d x$
$\quad$$\quad$$\quad$$=\left[-\frac{\cos \frac{x}{2}}{1 / 2}+\frac{\sin \frac{x}{2}}{1 / 2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2\left[\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2\left[\left(\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}\right)-(\sin 0-\cos 0)\right]$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-(0-1)\right]$
$\quad$$\quad$$\quad$$=2$

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