_0^1 x^7 1 - x^4 dx = - Vidyadip

Question

$\int_0^1 {\frac{{{x^7}}}{{\sqrt {1 - {x^4}} }}dx} =$

✓

Answer

b
(b) $I = \int_0^1 {\frac{{{x^7}}}{{\sqrt {1 - {x^4}} }}dx = \int_0^1 {\frac{{{x^6}x\,dx}}{{\sqrt {1 - {x^4}} }}} } $

${x^2} = \sin \theta $ $ \Rightarrow 2x\,dx = \cos \theta \,d\theta $ रखने पर,

$I = \frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^3}\theta .\cos \theta \,\,d\theta }}{{\cos \theta }}} $

$= \frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} {{{\sin }^3}\theta \,\,d\theta } $

$ = \frac{1}{2}\frac{{\Gamma 2\,\Gamma (1/2)}}{{2.\Gamma (5/2)}} $

$= \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{4.\frac{3}{2}.\frac{1}{2}.\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)}} = \frac{1}{3}$.

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