_0^ 5 e^x e^x - 1 e^x + 3 ,dx = - Vidyadip

Question

$\int_0^{\log 5} {\frac{{{e^x}\sqrt {{e^x} - 1} }}{{{e^x} + 3}}} \,dx = $

✓

Answer

b
(b) ${e^x} - 1 = {t^2} $

$\Rightarrow {e^x}dx = 2t\,dt$ रखने पर,

एवं जब $x = 0$ से $\log 5$,

तब $t = 0$ से $2$

इसलिए $\int_0^{\log 5} {\frac{{{e^x}\sqrt {{e^x} - 1} }}{{{e^x} + 3}}} dx = \int_0^2 {\frac{{2{t^2}}}{{{t^2} + 4}}dt} $

$ = 2\left[ {\int_0^2 {1dt - 4\int_0^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 4}}} } } \right] = 4 - \pi $.

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