Question
$\int_{\,0}^{\,\pi /2} {\frac{{{2^{\sin x}}}}{{{2^{\sin x}} + {2^{\cos x}}}}dx} =$
$I = \int_0^{\,\pi /2} {\frac{{{2^{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}}}{{{2^{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} + {2^{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}}}dx} $
$ = \int_0^{\pi /2} {\frac{{{2^{\cos x}}}}{{{2^{\cos x}} + {2^{\sin x}}}}} \,dx$.....$(ii)$
$(i)$ व $(ii)$ को जोड़़ने पर,
$2I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{{{2^{\sin x}} + {2^{\cos x}}}}{{{2^{\sin x}} + {2^{\cos x}}}}} \right)dx = \int_{\,0}^{\,\pi /2} {1\,dx} = [x]\,_0^{\pi /2} = \frac{\pi }{2}} $
==> $I = \frac{\pi }{4}$.
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जहाँ $\left\langle a_n\right\rangle_{n \geq 0}, \geq 2$ के लिए $a_0=a_1=1$ और $a_j=20 a_{j-1}-108 a_{j-2}$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम है। यदि $S$ को $\frac{a}{b}$ के रूप मे व्यक्त किया जाए, जहीं $a$ एवं $b$ असहभाज्य धनपूर्णांक है, तब $a$ का क्या मान होगा ?