_ 0 ^ xdx 1+ x ,0 < < = .......... - Vidyadip

MCQ

$\int_{0}^{\pi}\frac{xdx}{1+\cos\alpha\sin x},0 < \alpha < \pi =\ ..........$

✓
$\frac{{\pi \alpha }}{{\sin \alpha }}$
B
$\frac{{\pi \alpha }}{{\cos \alpha }}$
C
$\frac{{\pi \alpha }}{{1 + \sin \alpha }}$
D
$\frac{\alpha }{{1 + \cos \alpha }}$

✓

Answer

Correct option: A.

$\frac{{\pi \alpha }}{{\sin \alpha }}$

$I= \int^{\pi}_{0} \frac {xdx}{1+\cos \propto \sin x} $
$---(1)$
$=\int^{\pi}_{0} \frac {\pi - x}{1+\cos \propto \sin(\pi-x)} dx$
$I= \int^{\pi}_{0} \frac {\pi -x}{1+\cos \propto \sin x}dx\ ---(2)$
સમી $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા
$2I= \int^{\pi}_{0} \frac {\pi}{1+\cos \propto \sin x}dx $
$\pi=\int^{\pi}_{0} \frac {1}{1+\cos \propto \frac {2tan{\frac {x}{2}}}{1+\tan^2 \frac {x}{2}}}dx $
$\pi=\int^{\pi}_{0} \frac {1+\tan^2 \frac {x}{2}}{1+\tan^2 \frac {x}{2} +\cos \propto (2+\tan^{\frac {x}{2}})}dx$
અહી $ \tan \frac {x}{2} = t$ લેતા
$ \frac {1}{2} \sec^2 \frac {x}{2} dx=dt$
$x=0. t=0$ જયારે $x=\pi , t= \infty$
$2I= \pi\int^{\infty}_{0} \frac {2dt}{1+t^2+2t \cos \propto)}$
$(\because 1= \sin^2 \propto + \cos^2 \propto)$
$= \pi\int^{\pi}_{0} \frac {2dt}{(1+\cos\propto)^2+\sin^2 \propto}$
$2I =2 \pi \frac {1}{\sin \propto}\left( \tan^{-1}\frac {t+\cos \propto}{\sin \propto}\right)^{\infty}_{0}$
$=2 \pi \frac {1}{\sin \propto}\left( \frac {\pi}{2} - \tan^{-1}(\cot \propto)\right)$
$=\frac {2 \pi}{\sin \propto}\left[ \frac {\pi}{2} - \left( \frac {\pi}{2}- \propto\right)\right]$
$2I= \frac {2 \pi \propto}{\sin \propto}$
$I = \frac {\pi \propto}{\sin \propto}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

વક્રો ${x^2} = 4y$ અને રેખા $x = 4y - 2$ વચ્ચે ઘેરાએલા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

જો $A$ અને $B$ એ બે એવા $n \times n$ શૂન્યેતર શ્રેણિકો છે કે જેથી $A ^2+ B = A ^2 B$,તો $...........$

વક્રનું સમીકરણ મેળવો કે જે બિંદુ $(3,\,9)$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકલ સમીકરણ $\frac{{dy}}{{dx}} = x + \frac{1}{{{x^2}}}$ નું પાલન કરે છે .

$\int {\frac{{\sec \,x.\cos ec \,x}}{{2\cot \,x - \sec x\,\cos ec \,x}}dx} $ મેળવો. (કે જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

વિધેય $y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 6$ એ. . . .અંતરાલમાં ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે .

ધારોકે સદિશો $\overrightarrow{ a }=(1+ t ) \hat{i}+(1- t ) \hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{ b }=(1- t ) \hat{i}+(1+ t ) \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{ c }= t \hat{i}- t \hat{j}+\hat{k}, t \in R$ એવા છે કે જેથી $\alpha, \beta, \gamma \in R$ માટે, $\alpha \overrightarrow{ a }+\beta \overrightarrow{ b }+\gamma \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0$. તો $t$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ એ ..................

જો $ \vec a ,\vec b$ અને $\vec c $ શૂન્યતર સદિશો છે તે પૈકી કોઇપણ બે સમરેખ નથી તથા $\left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \vec c = \frac{1}{3}\left| \vec b \right|\left| \vec c \right|\vec a$. જો $\theta $ એ સદિશો $\vec b$ અને $\vec c$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\sin \theta $ નું એક મૂલ્ય . . . . છે.

બે બળોનો સરવાળો $18\, N$ છે અને પરીણામી બળની દિશાએ નાના બળ સાથેે કાટખૂણો બનાવે છે અને તેનુ મૂલ્ય $12\,N$ છે. તો બે બળોના મૂલ્ય મેળવો.

જો $\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma $ એ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યા છે તો જે બિંદુઓના સ્થાનસદીશો $\alpha i + \beta j + \gamma k,\,\,\beta i + \gamma j + \alpha k,\,\,\gamma i + \alpha j + \beta k$ હોય તે . . .

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} d x+\left(\frac{y}{x}\right) d y=0, y(1)=-1$ નો ઉકેલ દર્શાવે છે તો $(y(3))^{2}$ ની કિમંત મેળવો.