c (c) माना I = _a^b 1 x x ,dx = ( x x)_a^b - _a^b 1 x x ,dx 2I = [ ( x)^2 ]_a^b I = 1 2 [ ( b)^2 - ( a)^2 ] = 1 2 [( b + a)( b - a)] =1 2 (ab) ( b a ).

_a^b x x ,dx =

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Question

$\int_a^b {\frac{{\log x}}{x}\,dx = } $

✓

Answer

c
(c) माना $I = \int_a^b {\frac{1}{x}\log x\,dx = (\log x\log x)_a^b} $$ - \int_a^b {\frac{1}{x}\log x\,dx} $

$ \Rightarrow 2I = [{(\log x)^2}]_a^b $

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}[{(\log b)^2} - {(\log a)^2}]$

$ = \frac{1}{2}[(\log b + \log a)(\log b - \log a)]$

$=\frac{1}{2}\log (ab)\log \left( {\frac{b}{a}} \right)$.

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