Integrals — Maths STD 12 Science — Question

$ = {x^2}\int {{e^x}dx - \int {\left[ {\frac{d}{{dx}}{x^2}\int {{e^x}dx} } \right]} dx} $

[Applying product rule]

$ = {x^2}{e^x} - \int {2x{e^x}dx} $

$ = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} $

$= {x^2}{e^x} - 2\left[ {{xe^x}dx - \int {\left\{ {\frac{d}{{dx}}x\int {{e^x}dx} } \right\}dx} } \right]$

[Again applying product rule]

$= {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - \int {1.{e^x}dx} } \right)$

$= {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - \int {{e^x}dx} } \right)$

$ = {x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2\int {{e^x}dx} $

= x²e^x - 2xe^x + 2e^x + c

= e^x(x² - 2x + 2) + c