Gujarat BoardEnglish MediumSTD 12 ScienceMathsIntegrals3 Marks
Question
Integrated the function: $\int \frac { e ^ { 2 x } - e ^ { - 2 x } } { e ^ { 2 x } + e ^ { - 2 x } } d x.$
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Answer
Let $I = \int \frac { e ^ { 2 x } - e ^ { - 2 x } } { e ^ { 2 x } + e ^ { - 2 x } } d x$ Put $e^{2x} + e^{-2x} = t$ $\Rightarrow \left( 2 e ^ { 2 x } - 2 e ^ { - 2 x } \right) d x = d t$ $\left[ \because \frac { d } { d x } \left( e ^ { a x } \right) = a e ^ { a x } \right]$ $\Rightarrow 2\left( e ^ { 2 x } - e ^ { - 2 x } \right) d x = { d t } $ $\Rightarrow \left( e ^ { 2 x } - e ^ { - 2 x } \right) d x = \frac { d t } { 2 }$ $\therefore I = \int \frac { e ^ { 2 x } - e ^ { - 2 x } } { e ^ { 2 x } + e ^ { - 2 x } } d x$ $ = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d t } { t } $ $= \frac { 1 } { 2 } \log | t | + C$ $= \frac { 1 } { 2 } \log \left| e ^ { 2 x } + e ^ { - 2 x } \right| + C \quad \text { [ put } t = e ^ { 2 x } + e ^ { - 2 x } ]$ $\therefore I =\frac { 1 } { 2 } \log \left| e ^ { 2 x } + e ^ { - 2 x } \right| + C$
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