_0^ /2 ^3 ,x ,x , + , ,x ,dx का मान है: - Vidyadip

Question

$\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{\sin }^3}\,x}}{{\sin \,x\, + \,\cos \,x}}} \,dx$ का मान है:

✓

Answer

c
$I=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{3} x}{\sin x+\cos x} d x$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x}{\sin x+\cos x} d x$

$=\int_{0}^{\pi / 4}(1-\sin x \cos x) d x$

$=\left(x-\frac{\sin ^{2} x}{2}\right)_{0}^{\pi / 4}$

${=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}}$

${=\frac{\pi-1}{4}}$

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एक आयत $R$ जिसके एक भुजा अन्तिम बिन्दु $(1,2)$ तथा $(3,6)$ है, एक वृत के अन्तर्गत है। यदि वृत्त के व्यास का समीकरण $2 x - y +4=0$ है, तो $R$ का क्षेत्रफल होगा।

माना : वत्त $S : 36 x ^{2}+36 y ^{2}-108 x +120 y + C =0$ न तो निर्देशांक अक्षों को काटता है और न ही उनको स्पर्श करता है। यदि रेखाओं, $x -2 y =4$ तथा $2 x - y =5$ का प्रतिच्छेदन बिन्दु, वत्त $S$ के अन्दर स्थित है, तो -

${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{18}}$ के प्रसार में मध्य पद है

दि ${\log _2}x + {\log _x}2 = \frac{{10}}{3} = {\log _2}y + {\log _y}2$ तथा $x \ne y,$ तब $x + y =$

${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^6}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

माना $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$ और $\sin (\alpha-\beta)=\frac{5}{13},$ जहाँ $0 \leq \alpha, \beta \leq \frac{\pi}{4}$ तो $\tan 2 \alpha$ बराबर है

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यदि $P\,({A_1} \cup {A_2}) = 1 - P(A_1^c)\,P(A_2^c)$ जहाँ $c$ पूरक के लिये है, तब घटनाएँ ${A_1}$ तथा ${A_2}$ हैं

माना दीर्घवत्त $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पद दूसरे चतुर्थाश में एक बिंदु $P$ इस प्रकार है कि $P$ पर दीर्घवत की स्पर्श रेखा, रेखा $x +2 y =0$ के लंबवत हैं। माना दीर्घवत्त की नाभियों $S$ तथा $S^{\prime}$ है तथा इसकी उत्केन्द्रता $e$ है। यदि त्रिभुज SPS' का क्षेत्रफल $A$ है तो $\left(5- e ^{2}\right) . A$ का मान है