જો (1 + x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + ..... + C_n x^n , તો C_0 -… - Vidyadip

MCQ

જો ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ..... + {C_n}{x^n},$ તો ${C_0} - {C_2} + {C_4} - {C_6} + .....$ = . . .

A
${2^n}$
B
${2^n}\cos \frac{{n\pi }}{2}$
C
${2^n}\sin \frac{{n\pi }}{2}$
✓
${2^{n/2}}\cos \frac{{n\pi }}{4}$

✓

Answer

Correct option: D.

${2^{n/2}}\cos \frac{{n\pi }}{4}$

d
(d)Since ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ..... + {C_n}{x^n}$
Put $x = i$, on both the sides, we get
${(1 + i)^n} = ({C_0} - {C_2} + {C_4} - .....) + i({C_1} - {C_3} + {C_5} - .....)$.....$(i)$
Also, $1 + i = \sqrt 2 \,\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ in amplitude modulus form
==>${(1 + i)^n} = {2^{n/2}}{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)^n}$
$ = {2^{n/2}}\left( {\cos \frac{{n\pi }}{4} + i\sin \frac{{n\pi }}{4}} \right)$ ....$(ii)$
Equating the real parts in $(i)$ and $(ii) $ we get,
${C_0} - {C_2} + {C_4} - {C_6} + ..... = {2^{n/2}}\cos \frac{{n\pi }}{4}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 4.1 complex nubers→4.1 complex nubers — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે ક્રમિક બાજુઓ $4x + 5y = 0$ અને $7x + 2y = 0$ છે જો એક વિકર્ણનું સમીકરણ $11x + 7y = 9$ હોય તો બીજા વિકર્ણનું સમીકરણ મેળવો

ધારો કે, $A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8}.$ કાર્ટેંઝિયન ગુણાકાર $A × B$ ની ક્રમિક જોડ યાર્દચ્છિક રીતે પસંદ કરતાં $a + b = 9$ થાય. તેની સંભાવના …….. છે.

સંખ્યાઓ $a, b, 8, 5, 10$ નો મધ્યક $6$ છે તથા તેમનું વિચરણ $6.8$ છે.જો આ સંખ્યાઓનું મધ્યક થી સરેરાશ વિચલન $M$હોય,તો $25\,M=\dots\dots\dots$

ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શક દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $S_1$ છે અને તે પછીના દસ પદોનો ($11$ થી $20$) સરવાળો $S_2$ છે. તો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થશે ?

સમ ગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ બે પદનો સરવાળો $12$ છે. ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $48$ છે. ગુણોત્તર શ્રેણીના પદો ક્રમિક રીતે ઘન અને ઋણ છે. તો પ્રથમ પદ કયું હોય ?

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{27}} + {y^2} = 1$ પર બિંદુ $(3\sqrt 3 \cos \theta ,\;\sin \theta )$ કે જયાં $\theta \in (0,\;\pi /2)$ માંથી સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે.તો $\theta $ ની . . . . કિંમત માટે સ્પર્શકે અક્ષો પર બનાવેલ અંત:ખંડનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય.

જો અવલોકનો $1, 1 + d, . . . ,1 + 100d$ નો મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $255$ હોય તો $d$ =

જો $\left( a x^3+\frac{1}{ b x^{1 / 3}}\right)^{15}$ ના વિસ્તારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ $\left( a x^{1 / 3}-\frac{1}{ b x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણ માં $x^{-15}$ ના સહગુણક જેટલો થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો આવી પ્રત્યેક ક્રમયુક્ત જોડ $(a,b)$ માટે $..........$.

આપેલ ત્રણ બિંદુઓ $P, Q, R$ માટે $P(5, 3)$ અને $R$ એ $x-$ અક્ષ પર આવેલ છે જો $RQ$ નું સમીકરણ $x -2y = 2$ અને $PQ$ એ $x-$ અક્ષને સમાંતર હોય તો $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર કઈ રેખા પર આવેલ છે ?