જો $a, b, c \in R$ એ શૂન્યેતર સંખ્યાઓ માટે $a^{3}+b^{3}+c^{3}=2$ થાય અને શ્રેણિક $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right)$ માટે $\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}=\mathrm{I},$ થાય તો $abc$ ની કિમત ..... હોય શકે
JEE MAIN 2020, Difficult
Download our app for free and get started
$A^{T} A=I$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
and $a b+b c+c a=0$
Now, $(a+b+c)^{2}=1$
$\Rightarrow a+b+c=\pm 1$
So, $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$
$=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)$
$=\pm 1(1-0)=\pm 1$
$\Rightarrow 3 a b c=2 \pm 1=3,1$
$\Rightarrow \quad a b c=1, \frac{1}{3}$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1જો $p{\lambda ^4} + q{\lambda ^3} + r{\lambda ^2} + s\lambda + t = $ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda ^2} + 3\lambda }&{\lambda - 1}&{\lambda + 3}\\{\lambda + 1}&{2 - \lambda }&{\lambda - 4}\\{\lambda - 3}&{\lambda + 4}&{3\lambda }\end{array}\,} \right|$ તો $t$ ની કિમત મેળવો.View Solution
- 2શ્રેણિક $N = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&{ - 3}&{ - 3}\\1&0&1\\4&4&3\end{array}} \right]$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક મેળવો.View Solution
- 3જો $A$ ની કક્ષા $m \times n$ તો $B$ ની કક્ષા મેળવો કે જેથી $AB$ અને$ BA$ બંને વ્યખ્યાયિત થાય.View Solution
- 4અહી $A=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{ccc}9^{2} & -10^{2} & 11^{2} \\ 12^{2} & 13^{2} & -14^{2} \\ -15^{2} & 16^{2} & 17^{2}\end{array}\right]$ હોય તો $A ^{\prime} BA$ ની કિમંત મેળવો.View Solution
- 5જો ${\left\{ {\left( \begin{gathered} 3\,\,1\,\,2 \hfill \\ 8\,\,9\,\,5 \hfill \\ 1\,\,\,1\,\,3 \hfill \\ \end{gathered} \right)\,\left( \begin{gathered} 1\,\,3\,\,3 \hfill \\ 3\,\,2\,\,7 \hfill \\ 3\,\,7\,\,9 \hfill \\ \end{gathered} \right)\left( \begin{gathered} 3\,\,8\,\,1 \hfill \\ 1\,\,\,9\,\,1 \hfill \\ 2\,\,5\,\,3 \hfill \\ \end{gathered} \right)} \right\}^2}\, = \,\left( \begin{gathered} a_1\,\,a_2\,\,a_3 \hfill \\ b_1\,\,b_2\,\,b_3 \hfill \\ c_1\,\,c_2\,\,c_3 \hfill \\ \end{gathered} \right)$View Solution
હોય તો $|a_2 - b_1| + |a_3 - c_1| + |b_3 - c_2|$ ની કિમત મેળવો. - 6જો $A$ અને $B$ બે શ્રેણિક છે કે જેથી $AB = B$ અને $BA = A$ તો ${A^2} + {B^2} = $View Solution
- 7ધારો કે $A$ એ એવો $n \times n$ શ્રેણિક છે કે જેથી $| A |=2$ પર થાય.જો શ્રેણિક $\operatorname{Adj}\left(2 \cdot \operatorname{Adj}\left(2 A ^{-1}\right)\right) \cdot$ નો નિશ્ચાયક $2^{84}$ હોય, તો $n =.............$.View Solution
- 8જો $A$ એ સ્વયંઘાતી શ્રેણિક હોય તો $(I + A)^4$ મેળવો $($કે જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણીક છે કે જેની કક્ષા $A$ જેટલી છે.$)$View Solution
- 9$k $ ની કેટલી કિંમતો માટે સમીકરણ સંહતી $\left( {k + 1} \right)x + 8y = 4k\;,\;kx + \left( {k + 3} \right)y $$= 3k - 1$ ને એક પણ ઉકેલ નથી.View Solution
- 10$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&5&\pi \\{{{\log }_e}e}&5&{\sqrt 5 }\\{{{\log }_{10}}10}&5&e\end{array}\,} \right| = $View Solution