$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&1&2\\
0&{2 - \lambda }&1\\
1&0&{2 - \lambda }
\end{array}} \right| = 0$

$(1-\lambda)\left[(2-\lambda)^{2}-0\right]-(0-1)+2(0-(2-\lambda))=0$

$(1-\lambda)(2-\lambda)^{2}+1-4+2 \lambda=0$

$(1-\lambda)\left(\lambda^{2}-4 \lambda+4\right)-3+2 \lambda=0$

$\lambda^{2}-4 \lambda+4-\lambda^{3}+4 \lambda^{2}-4 \lambda-3+2 \lambda=0$

$\lambda^{3}=5 \lambda^{2}-6 \lambda+1=(5 \lambda-1)(\lambda-1)$

$ A^{3}=(5 A-I)(A-I) $ 

$ a=5, b=1 $ or $ a=1, b=5 $ 

$ \Rightarrow a+b=6 $