જો _ 1 3 ^3 | _e x | d x=m n _e (n^2 e ),જ્યાં m અને n પરસ્પર અવિ… - Vidyadip

MCQ

જો $\int \limits_{\frac{1}{3}}^3\left|\log _e x\right| d x=\frac{m}{n} \log _e\left(\frac{n^2}{e}\right)$,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક સંખ્યાઆો છે, તો $m^2+n^2-5=.........$

A
$20$
B
$21$
C
$22$
D
$24$

✓

Answer

$\int \limits_{\frac{1}{3}}^3|\operatorname{nx}| dx =\int \limits_{\frac{1}{3}}^1(-\ell nx ) dx +\int_1^3(\ell nx ) dx$

$=-[ x \ell nx - x ]_{\ell / 3}^1+[ x \ell nx - x ]_1^3$

$=-\left[-1-\left(\frac{1}{3} \ell \ln \frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)\right]+[3 \ln 3-3-(-1)]$

$=\left[-\frac{2}{3}-\frac{1}{3} \ln \frac{1}{3}\right]+[3 \ln 3-2] ~\\ =-\frac{4}{3}+\frac{8}{3} \ln 3$

$=\frac{4}{3}(2 \ell n 3-1)$

$=\frac{4}{3}\left(\ln \frac{9}{ e }\right)$

$\therefore m =4, n =3$

$\text { Now }, m ^2+ n ^2-5=16+9-5=20$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

$\frac{ d }{ dx } \cdot\left(\frac{1}{\log | x |}\right)=$ ........ .

વ્રક $y = f(x)$, $x -$ અક્ષ અને રેખા $x = 1$ અને $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{5}{{24}}\pi $, હોય તો $f(x)$ મેળવો.

વિધેય $y = f(x)$ નો આલેખ $x = 2$ ને સમિત હોય તો

એક વ્યકિત $4$ પત્રો અને $4$ કવર ઉપર સરનામા લખે છે. યાદચ્છિક રીતે પત્રોને કવરમાં મૂકે, તો ઓછામાં ઓછો એક પત્ર સાચા કવરમાં ન મૂકાય તે ઘટનાની સંભાવના $........$ છે.

જો $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{(1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|}},\,\, - \pi /6 < x < 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b,\,x = 0\\{e^{\tan 2x/\tan 3x}},\,0 < x < - \pi /6\end{array} \right.$ તો જો $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તો $a$ અને $b$ ની કિમંત અનુક્રમે . . . અને . . . . થાય .

વિધાન $1$ : જો $ A (\overrightarrow {a}), B (\overrightarrow {b}),C(\overrightarrow {c})$ ત્રણ બિંદુઓ છે , જ્યાં $ \overrightarrow {a} - \hat{i }+ 2 \hat{j} +3 \hat {k}, \overrightarrow {b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\overrightarrow {c} = 5 \hat {i} + 8 \hat {j} + 13 \hat{k}$ તો $ \text{OABC}$ અને તો ચતુષ્ફલક છે , જ્યાં $O$ ઊગમબિંદુ છે. વિધાન $2$ : જો $\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}, \overrightarrow {c}$ અસમતલીય હોય અને તેઓ અનુક્રમે બિંદુઓ $\text{A,B,C}$ ના સ્થાન સદિશ હોય , તો $\text{OABC}$ ચતુષ્ફલક થશે જ્યાં $O$ ઊગમબિંદુ દર્શાવે છે.

એક ગોલક આકારના કુગ્ગાને કુલવતાં તેનું પૃષ્ઠફળ અચળ દર થી વઘે છે જો શરૂઆતમાં કુગ્ગાની ત્રિન્ન્યા $3$ એકમ હોય અને $5$ સેકેન્ડ પછી તે $7$ એકમ થાય, તો $9$ સેકેન્ડ પછી તેની ત્રિજ્યા .......... એકમ થશે.

અહી $f: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે.

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}}{(1-\cos 2 x)^{2}} \log _{e}\left(\frac{1+2 x e^{-2 x}}{\left(1-x e^{-x}\right)^{2}}\right), & x \neq 0 \\ \,\alpha & , x=0\end{array}\right.$ જો $\mathrm{f}$ એ $\mathrm{x}=0$ આગળ સતત હોય તો $\alpha$ ની કિમંત મેળવો.

અહી $O$ એ ઉગમબિંદુ છે . ધારો કે $\overline{ OP }= x \hat{ i }+ y \hat{ j }-\hat{ k }$ અને $\overline{ OQ }=-\hat{ i }+2 \hat{ j }+3 x \hat{ k }, x , y \in R , x >0$ આપેલ છે કે જેથી $|\overline{ PQ }|=\sqrt{20}$ અને સદીશ $\overline{ OP }$ એ $\overline{ OQ }$ ને લંબ છે. જો $\overline{ OR }=3 \hat{ i }+ z \hat{ j }-7 \hat{ k }, z \in R ,$ એ $\overline{ OP }$ અને $\overline{ OQ }$ એ સમતલીય હોય તો $x ^{2}+ y ^{2}+ z ^{2}$ ની કિમંત મેળવો.

$\int_{ - 1}^1 {\frac{d}{{dx}}\left( {{{\tan }^{ - 1}}\frac{1}{x}} \right)} \,dx = . . . ..$