જો સમીકરણ સંહિત $2 x+3 y-z=5$ ; $x+\alpha y+3 z=-4$ ; $3 x-y+\beta z=7$ ને અસંખ્ય ઉકેલો હોય, તો $13 \alpha \beta$=____________.
JEE MAIN 2024, Difficult
Download our app for free and get started
Using family of planes
$2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-\mathrm{z}-5=\mathrm{k}_1(\mathrm{x}+\alpha \mathrm{y}+3 \mathrm{z}+4)+\mathrm{k}_2(3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\beta \mathrm{z}-7)$
$2=\mathrm{k}_1+3 \mathrm{k}_2, 3=\mathrm{k}_1 \alpha-\mathrm{k}_2,-1=3 \mathrm{k}_1+\beta \mathrm{k}_2,-5=4{k}_1-7 \mathrm{k}_2$
On solving we get
$\begin{gathered}k_2=\frac{13}{19}, k_1=\frac{-1}{19}, \alpha=-70, \beta=\frac{-16}{13} \\ 13 \alpha \beta=13(-70)\left(\frac{-16}{13}\right) \\ =1120\end{gathered}$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1સમીકરણની સંહતિ $\begin{array}{l}\alpha x + y + z = \alpha - 1\\x + \alpha y + z = \alpha - 1\\x + y + \alpha z = \alpha - 1\end{array}$ નો ઉકેલ ખાલીગણ હોય તો $\alpha $ કિમત મેળવો.View Solution
- 2ધારો કે $A=\left[\begin{array}{lll}x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y\end{array}\right], \quad$ જ્યાં $x, y$ અને $z$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, કે જેથી $x + y + z >0$ અને $xyz =2$ જો $A ^{2}= I _{3},$ હોય, તો $x ^{3}+ y ^{3}+ z ^{3}$ નું મૂલ્ય ............ છે.View Solution
- 3નિશ્રાયક $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}\end{array}\,} \right|$ માં જો ${A_1},{B_1},{C_1}\ ....$ એ અનુક્રમે ${a_1},{b_1},{c_1},......$ ના સહઅવયવ દર્શાવે છે તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{B_2}}&{{C_2}}\\{{B_3}}&{{C_3}}\end{array}} \right| =\ . . . .$View Solution
- 4$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}7&1&2\\9&2&1\end{array}} \right]\,\left[ \begin{array}{l}3\\4\\5\end{array} \right] + 2\left[ \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right]$ = . . . .View Solution
- 5જો $ A $ એ ચોરસ શ્રેણિક હોય અને $A + {A^T}$ સંમિત શ્રેણિક હોય , તો $A - {A^T}$=View Solution
- 6જો $(\mathrm{k}, 0),(4,0),(0,2)$ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ હોય, તો $\mathrm{k}$ નું મૂલ્ય શોધો.View Solution
- 7જો દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}x^3 & 2 x^2+1 & 1+3 x \\ 3 x^2+2 & 2 x & x^3+6 \\ x^3-x & 4 & x^2-2\end{array}\right|$ હોય તો $2 f(0)+f^{\prime}(0)$ ની કિમંત મેળવો.View Solution
- 8જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,\cos \alpha }&{\sin \alpha }\\{ - \sin \alpha }&{\cos \alpha }\end{array}} \right]$, તો ${A^2} = $View Solution
- 9જો $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\,\,1}&{\,\,1}\\1&{ - 2}&{ - 2}\\1&{\,\,3}&{\,\,1}\end{array}} \right]\,\left[ \begin{array}{l}x\\y\\z\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}0\\3\\4\end{array} \right]$, તો $\left[ \begin{array}{l}x\\y\\z\end{array} \right] = . .. .$View Solution
- 10જે શ્રેણિકના ઘટકો $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ દ્વારા મળે તેવા $3 \times 2$ શ્રેણિકની રચના કરો.View Solution