MCQ
જો $z = r{e^{i\theta }}$ તો $|{e^{iz}}|$=
- A${e^{r\sin \theta }}$
- ✓${e^{ - r\sin \theta }}$
- C${e^{ - r\cos \theta }}$
- D${e^{r\cos \theta }}$
✓
Answer
Correct option: B.
${e^{ - r\sin \theta }}$
(b)If $z = r{e^{i\theta }} = r(\cos \theta + i\sin \theta )$
==> $iz = ir(\cos \theta + i\sin \theta ) = - r\sin \theta + ir\cos \theta $
or ${e^{iz}} = {e^{( - r\sin \theta + ir\cos \theta )}} = {e^{ - \sin \theta }}{e^{ri\cos \theta }}$
or $|{e^{iz}}| = |{e^{ - r\sin \theta }}||{e^{ri\cos \theta }}|$$ = {e^{ - r\sin \theta }}|{e^{ir\,\cos \theta }}|$
$ = {e^{ - r\sin \theta }}{[\{ {\cos ^2}(r\cos \theta ) + {\sin ^2}(r\cos \theta )\} ]^{1/2}} = {e^{ - r\sin \theta }}$
==> $iz = ir(\cos \theta + i\sin \theta ) = - r\sin \theta + ir\cos \theta $
or ${e^{iz}} = {e^{( - r\sin \theta + ir\cos \theta )}} = {e^{ - \sin \theta }}{e^{ri\cos \theta }}$
or $|{e^{iz}}| = |{e^{ - r\sin \theta }}||{e^{ri\cos \theta }}|$$ = {e^{ - r\sin \theta }}|{e^{ir\,\cos \theta }}|$
$ = {e^{ - r\sin \theta }}{[\{ {\cos ^2}(r\cos \theta ) + {\sin ^2}(r\cos \theta )\} ]^{1/2}} = {e^{ - r\sin \theta }}$
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
વિધેય $\frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }}{x}$ નો પ્રદેશ મેળવો.
→$2x + y - 1 = 0$ સુરેખા પરવલય $y^2 = 4x$ ક્યા છેદે છે ?
→ધારો કે $\mathrm{A}(1,-1)$ અને $\mathrm{B}(0,2)$ આપેલ છે . જો બિંદુ $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}\right)$ એવિ રીતે આપેલ છે કે જેથી ક્ષેત્રફળ $\Delta \mathrm{PAB}=5\; \mathrm{sq}$ એકમ થાય અને જે રેખા $3 x+y-4 \lambda=0$ પર આવેલ હોય તો $\lambda$ મેળવો.
→વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ અને $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24 = 0$ નોન સામાન્ય સ્પર્શક બીજા ........... બિંદુ માંથી પણ પસાર થાય છે.
→જો સમીકરણ $y = ax^2 -bx + c$ નો ગ્રાફ નીચે મુજબ હોય તો $a$, $b$, $c$ ના ચિહ્નો અનુક્રમે ......... થાય
→અહી રેખા $L: 2 x+y=k, k\,>\,0$ એ અતિવલય $x^{2}-y^{2}=3 $ નો સ્પર્શક છે . જો રેખા $L$ એ પરવલય $y^{2}=\alpha x$ નો સ્પર્શક હોય તો $\alpha$ ની કિમંત મેળવો.
→અવલોકનો $36,72,46,42,60,45,53,46,51,49$ માટે મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $.........$ થાય.
→જો ${\left( {1 + x} \right)^{10}} = \sum\limits_{r = 0}^{10} {{C_r}{x^r}} $ ,${\left( {1 + x} \right)^7} = \sum\limits_{r = 0}^7 {{d_r}{x^r}} $ અને $P = \sum\limits_{r = 0}^5 {{C_{2r}}} $ તથા $Q = \sum\limits_{r = 0}^3 {{d_{2r + 1}}} $ ,હોય તો $\frac{P}{{2Q}}$ ની કિમત મેળવો
→જો $z + {z^{ - 1}} = 1,\,{\rm{ }}$ તો ,$\,{z^{100}} + {z^{ - 100}}$ =. . ..
→જો અસમતા $kx^2 -2x + k \geq 0$ ને ઓછામાં ઓછા એક વાસ્તવિક $'x'$ માટે હોય તો $'k'$ ની કિમતોનો ગણ મેળવો
→