Question
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right| = $
अत: $(a - b),\,(b - c),\,(c - a)$ समीकरण के गुणनखण्ड हैं। चूँकि सारणिक $a,b,c$ में सममित है एवं चतुर्थ घात का है अत: $(a + b + c)$ भी इसका गुणनखण्ड है।
अत:, $\Delta$ $=\,k(a - b),(b - c),(a + b + c)$ ......$(i)$
समीकरण $(i)$ में $b{c^3}$ की दोनों पक्षों में तुलना करने पर, $1 = k( - 1)\,( - 1) \Rightarrow k = 1$
$\Delta$ = $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) $
ट्रिक: $a = 1,\,b = 2,\,c = 3$ रखने पर,
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&2&3\\1&8&{27}\end{array}\,} \right| = 1(30) - 1(24) + 1(8 - 2) = 12$, जो विकल्प $ (c)$ द्वारा प्राप्त होता है।
अर्थात्, $(1 + 2 + 3)\,(1 - 2)\,(2 - 3)(3 - 1) = 12$.
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को संतुष्ट करता है, की संख्या होगी ?
$I=\int_0^{10}\left[\sqrt{\frac{10 x}{x+1}}\right] d x,$
तब $9 I$ का मान . . . . . . .है।