7.2 definite integral — Maths STD 12 Science — Question

Let $I=\int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t, x > 0$

$\Rightarrow \quad I=\int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t+\int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t$

$\Rightarrow \quad I=\left[-(x-t) e^{-t}\right]_0^x+\int \limits_0^x \frac{d(x-t)}{d x} e^{-t} d t$

$+\left[\frac{(t-x) e^{-t}}{-1}\right]_x^{\infty}+\int \limits_x^{\infty} e^{-t} d t$

$\Rightarrow I=x+\left[e^{-t}\right]_0^x+\left[-e^{-t}\right]_x^{\infty}$

$\Rightarrow I=x+e^{-x}-1+e^{-x}$

$\Rightarrow I=x+2 e^{-x}-1$