मान ज्ञात कीजिए _k=1^ 11 (2 + 3^k) - Vidyadip

Question

मान ज्ञात कीजिए $\sum_\limits{k=1}^{11} (2 + 3^k)$

✓

Answer

$\sum_\limits{k=1}^{11} (2 + 3^k)$
$= (2 + 3^1) + (2 + 3^2) + (2 + 3^3) + ... + (2 + 3^{11})$
$= (2 + 2 + ... + 2) + (3^1+ 3^2+ 3^3+ ... + 3^{11}) 11$ पदों तक
$= 2 \times 11+\frac{3^{11} \times 3-3}{3-1} ($दूसरे कोष्ठक में $S = \frac{l r-a}{r-1}$ से$)$
$= 22 + \frac{3\left(3^{11}-1\right)}{2}$

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निम्न फलनों को क्रमित युग्मों के रूप में व्यक्त कीजिए तथा इनके परिसर भी लिखिए-
(i) $f: A \rightarrow R, f(x)=x^2+1$जहाँ $A =\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$
(ii) $g: B \rightarrow I , g(x)=x^2-x$जहाँ $B =\{x: x \in N, x \leq 5\}$

यदि $p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा समीकरणों $px^2+ 2qx + r = 0$ और $dx^2+ 2ex + f = 0$ एक उभयनिष्ठ मूल रखते हों, तो दर्शाइए कि $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ समांतर श्रेणी में हैं।

दिए गए $\tan x = -\frac 43, x$ द्वितीय चतुर्थांश में है। $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ तथा $\tan \frac{x}{2}$ ज्ञात कीजिए।

समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: $\sin 2x + \cos x = 0$

निम्नलिखित बंटन के लिए माध्य, प्रसरण तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

वर्ग	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
बारंबारता	3	7	12	15	8	3	2

बिंदु $(2, 3)$ से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर $60^\circ$ के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक रेखा की ढाल $2$ है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$200$ तथा $400$ के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो $7$ से विभाजित हों।

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है $(1.1)^{10000}$ या $1000.$

$\left(x-\frac{3}{x^{2}}\right)^{m}, x \neq 0$, जहाँ $m$ एक प्राकृत संख्या है, के प्रसार में पहले तीन पदों के गुणांकों का योग $559$ है। प्रसार में $x^3$ वाला पद ज्ञात कीजिए।

यदि प्रत्येक प्रेक्षण $x_1, x_2, ..., x_n$ को $a$, से बढ़ाया जाए जहाँ $a$ एक ऋणात्मक या धनात्मक संख्या है, तो दिखाइए कि प्रसरण अपरिवर्तित रहेगा।