Question
माना $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 4}}{{|x - 4|}} + a,\;\;x < 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a + b,\,\;\,\;x = 4\\\frac{{x - 4}}{{|x - 4|}} + b,\,\;x > 4\end{array} \right.$ तो $f(x)$, $x = 4$ पर सतत् होगा यदि
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$f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ सभी $x \in(0, \infty)$ के लिये,
के द्वारा परिभाषित है। (यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric function) $\tan ^{-1} x,\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में मान धारण करता है।) तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2\left(f_j(0)\right)=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}\left(1+f_j^{\prime}(0)\right) \sec ^2\left(f_j(0)\right)=10$
$(C)$ किसी भी नियत (fixed) धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिये, $\lim _{x \rightarrow \infty} \tan \left(f_n(x)\right)=\frac{1}{n}$
$(D)$ किसी भी नियत (fixed) धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिये, $\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2\left(f_n(x)\right)=1$
- स्वर दिये गए क्रम में हों $(EUAIO)$;
- व्यंजन दिये गए क्रम में हों $(DCTN)$;
- कोई भी दो व्यंजन साथ साथ न हों ।