_ x 0 , (1 - 2x) 5x x^2 3x = - Vidyadip

Question

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{(1 - \cos 2x)\sin 5x}}{{{x^2}\sin 3x}} =$

✓

Answer

a
(a) $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos 2x)\,\sin 5x}}{{{x^2}\sin 3x}}$

$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}x\,\sin 5x}}{{{x^2}\sin 3x}}$

$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \,\left( {\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}} \right)\frac{{\left( {\frac{{\sin 5x}}{x}} \right)}}{{\left( {\frac{{\sin 3x}}{x}} \right)}}$

$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} 2\,{\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^2} \times \frac{{5\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin 5x}}{{5x}}} \right)}}{{3\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin 3x}}{{3x}}} \right)}}$

$ = \frac{{2 \times 5}}{3} = \frac{{10}}{3}$.

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