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STD 11 - 12. limits — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 11 - 12. limits4 Marks
Question
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^x} - {9^x}}}{{x({4^x} + {9^x})}} = $
✓

Answer

a
(a) $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^x} - {9^x}}}{{x({4^x} + {9^x})}}$,$\left( {\frac{0}{0}} \right)$

$L-$  हॉस्पीटल नियम से,

$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{4^x}\log 4 - {9^x}\log 9}}{{({4^x} + {9^x}) + x({4^x}\log 4 + {9^x}\log 9)}}$

==> $y = \frac{{\log 4 - \log 9}}{2}$

==> $y = \frac{{\log {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \log \frac{2}{3}$.

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$f(x)=\left\{\begin{array}{rc}x^5+5 x^4+10 x^3+10 x^2+3 x+1, & x<0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x<1 \\ \frac{2}{3} x^3-4 x^2+7 x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x<3 \\ (x-2) \log _e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3\end{array}\right.$

तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है ( हैं)?

$(1)$ $f^{\prime}$ का एक स्थानीय उच्चतम (local maximum) $x =1$ पर है

$(2)$ $f$ आच्छादक (onto) है

$(3)$ $f$ अन्तराल $(-\infty, 0)$ में वर्धमान (increasing) है

$(4)$ $x =1$ पर $f^{\prime}$ अवकलनीय नहीं ($NOT$ differentiable) है

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt x (\sqrt {x + 5} - \sqrt x ) = $
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