MCQ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\left( {\frac{{\int_0^{{x^2}} {{{\sec }^2}\,t\,dt} }}{{x\,\sin x}}} \right)\,$ = . . .
- A$3$
- B$2$
- ✓$1$
- D$0$
✓
Answer
Correct option: C.
$1$
c
(c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}\int_0^{{x^2}} {{{\sec }^2}t\,dt} }}{{\frac{d}{{dx}}(x\sin x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sec }^2}{x^2}.2x}}{{\sin x + x\cos x}}$
By $L $ - Hospital’s rule, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sec }^2}{x^2}}}{{\left( {\frac{{\sin x}}{x} + \cos x} \right)}} = \frac{{2 \times 1}}{{1 + 1}} = 1$.
(c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}\int_0^{{x^2}} {{{\sec }^2}t\,dt} }}{{\frac{d}{{dx}}(x\sin x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sec }^2}{x^2}.2x}}{{\sin x + x\cos x}}$
By $L $ - Hospital’s rule, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sec }^2}{x^2}}}{{\left( {\frac{{\sin x}}{x} + \cos x} \right)}} = \frac{{2 \times 1}}{{1 + 1}} = 1$.
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
જો $r$ અને $s$ ધન હોય, તો બીજ સમીકરણ $ax^2 - rx - s = 0$ ના બીજ કેવા હોય ?
→વિધેય $f:R \to R$ એ $f(x) = {\cos ^2}x + {\sin ^4}x$ માટે $x \in R$ વ્યાખ્યાતીત હોય, તો $f(R) \in $
→ધારો કે $O $ એ પરવલય ${x^2} = 8y$ નું શિરોબિંદુ છે અને $Q$ એ આ પરવલય પર આવેલ કોઇક બિંદુ છે.જો બિંદુ $ P$ એ રેખાખંડ $ OQ$ નું $ 1:3$ ના ગુણોતરમાં અંત:વિભાજન કરે,તો $ P $ નો બિંદુપથ મેળવો.
→રેખા $ax+by+c=0$ ને સમાંતર અને બિંદુ $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $.............$ છે.
→ઉ૫વલય $\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1$ ની નાભિઓ $S$ અને $S'$ હોય તથા $P$ ઉ૫વલય ૫૨નું કોઈ બિંદુ હોય , તો $PS+PS'=......$
→$2m - 1$ અને $2n - 1$ બાજુઓની લંબાઈવાળી લંબચોરસને નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે સમાંતર રેખાઓ દોરીને એકમ લંબાઈની બાજુઓવાળા માં વિભાજીત કરવામાં આવે તો તેમાં બાજુની લંબાઈ અયુગ્મ હોય તેવા કેટલા લંબચોરસ હશે $?$
→$7\,cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર વાયરને કાપી તેને $12cm$ ત્રિજયાવાળા વર્તુળ પર બેસાડવામાં આવે તો તેને કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો.......$^o$ મેળવો.
→ધારોકે $f(x)$ એવું વિધેય છે કે જેથી પ્રત્યેક $x, y \in N$ માટે $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ જો $f(1)=3$ અને $\sum \limits_{k=1}^n f(k)=3279$ હોય, તો $n$ નું મૂલ્ય $..............$ છે.
→જો $\cot \,\theta + \tan \theta = m$ અને $\sec \theta - \cos \theta = n,$ તો આપેલ પૈકી ક્યો સંબંધ સાચો છે ?
→ધારો કે $x_1, x_2 \ldots, x_{100}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, જ્યાં $x_1=2$ અને તેઓનો મધ્યક $200$ છે.જો $y_i=i\left(x_i-i\right), 1 \leq i \leq 100$ હોય,તો $y_1, y_2, \ldots, y_{100}$ નો મધ્યક
→$..........$ છે.