_ x [ x + x + x - x ] = - Vidyadip

Question

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } - \sqrt x } \right] =$

✓

Answer

b
(b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\left[ {\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } - \sqrt x } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + \sqrt {x + \sqrt x } - x}}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } + \sqrt x }}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {x + \sqrt x } }}{{\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\frac{{\sqrt {1 + {x^{ - 1/2}}} }}{{\sqrt {1 + \sqrt {{x^{ - 1}} + {x^{ - 3/2}}} } + 1}} = \frac{1}{2}$.

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माना $\overrightarrow{ a }= a _1 \hat{ i }+ a _2 \hat{ j }+ a _3 \hat{ k }, a _{ i } > 0, i =1,2,3$ एक सदिश है जो निर्देशांक अक्षो $OX , OY$ तथा $OZ$ के साथ समान कोण बनाता है माना $\vec{a}$ का सदिश $3 \hat{ i }+4 \hat{ j }$ पर प्रक्षेप $7$ है माना $\overrightarrow{ a }$ के $90^{\circ}$ से घूर्णन से $\vec{b}$ सदिश प्राप्त होता है यदि $\vec{a}, \vec{b}$ तथा $x$-अक्ष समतलीय है तो सदिश $\overrightarrow{ b }$ का $3 \hat{ i }+4 \hat{ j }$ पर प्रक्षेप होगा

$x$ अक्ष से ${60^o}$ का कोण बनाने वाली दीर्घवृत्त ${x^2} + 16{y^2} = 16$ की स्पर्श रेखा का समीकरण है

एक त्रिभुज के शीर्ष $(1,2),(2,3)$ और $(3,1)$ हैं। यदि इसका लंबकेन्द्र $(\alpha, \beta)$ है, तब $\alpha+4 \beta$ और $4 \alpha+\beta$ किस समीकरण के मूल हैं ?

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$

$f( x )=\frac{ x ^2-3 x -6}{ x ^2+2 x +4} \text {. }$

द्वारा परिभाषित है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (है)?

$(A)$ $f$ अंतराल $(-2,-1)$ में हासमान (decreasing) है

$(B)$ $f$ अंतराल $(1,2)$ में वर्धमान (increasing) है

$(C)$ $f$ आच्छादक (onto) है

$(D)$ $f$ का परिसर (range) $\left[-\frac{3}{2}, 2\right]$ है

आव्यूह $A =\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ के लिए $a$ और $b$ ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि $A^{2}+a A+b I=O$ हो।

माना $\mathrm{x}=2$ समीकरण $\mathrm{x}^2+\mathrm{px}+\mathrm{q}=0$ का एक मूल $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos \left(x^2-4 p x+q^2+8 q+16\right)}{(x-2 p)^4}, & x \neq 2 p \\ 0, & , x=2 p\end{array}\right.$ है तब $\lim _{\mathrm{x} \rightarrow 2 \mathrm{p}^{+}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})][\mathrm{f}(\mathrm{x})]$ जहाँ [$.$] महत्तम पूर्णाक फलन है का मान है:

एक अतिपरवलय जिसके अनुप्रस्थ (transverse) अक्ष की लम्बाई $\sqrt{2}$ है और उसके नाभिकेन्द्र, दीर्घवृत्त $3 x^{2}+4 y^{2}=12$ के नाभिकेन्द्रों के बराबर है। तो अतिपरवलय निम्न में से किस बिन्दु से होकर नहीं जाता है?

उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसका एक शीर्ष $(0,7)$ तथा संगत नियता $y = 12$ है, होगा

यदि $\sin \alpha = \frac{{336}}{{625}}$ तथा $450^\circ < \alpha < 540^\circ ,$ हो तो $\sin \left( {\frac{\alpha }{4}} \right) $ बराबर है

माना एक $A.P.$ के किसी भी तीन भिन्न क्रमागत पदों $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ के लिए रेखाएं $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{c}=0$ एक बिंदु $\mathrm{P}$ पर संगामी हैं तथा बिंदु $\mathrm{Q}(\alpha, \beta)$ के लिए समीकरण निकांय $x+y+z=6,2 x+5 y+\alpha z=\beta$ तथा $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=4$, के अंतंत हल है। तो $(\mathrm{PQ})^2$ बराबर है ..........|