Question
निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
$\begin{align}\vec{\mathrm{r}}=(1+\lambda) \hat{\mathrm{i}}+(2-3 \lambda) \hat{\mathrm{j}}+(3+2 \lambda) \hat{\mathrm{k}} \end{align}$
$\vec{\mathrm{r}}=(4+2 \mu) \hat{\mathrm{i}}+(5+3 \mu) \hat{\mathrm{j}}+(6+\mu) \hat{k}$

Answer

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बिंदु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए-
$\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$
रेखाओं $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{r}}=(2 \hat{i}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
बिन्दु $(-1,3,2)$ से जाने उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखाओं $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ तथा $\frac{x+2}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{5}$ के लम्बवत् है।
$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक्-अनुपात a, b, c और b - c, c - a, a - b हैं।
निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत $Z=-3 x+4 y$ का आलेखीय विधि से न्यूनतमीकरण कीजिए।
$x+2 y \leq 8,3 x+2 y \leq 12, x \geq 0, y \geq 0$
निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत $Z=x+y$ का आलेखीय विधि से अधिकतमीकरण कीजिए।
$\mathrm{x}-\mathrm{y} \leq-1,-\mathrm{x}+\mathrm{y} \leq 0, \mathrm{x} \geq 0, \mathrm{y} \geq 0$
एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घंटा यांत्रिक समय तथा 3 घंटे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट बल्ले को तैयार करने में 3 घंटे यांत्रिक समय तथा 1 घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभिन्न यंत्रों पर उपलब्ध यांत्रिक समय के 42 घंटे और शिल्पकार समय के 24 घंटे से अधिक नहीं हैं।
  1. रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
  2. यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः 20 तथा 10 हों तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
$\int_{\frac\pi 6}^{\frac\pi 3} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x$