Question
सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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Answer
सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ अपरिमेय संख्या हैं।
इसके विपरीत मान लीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ $p$ तथा $q $ दो पूर्णांक है और $q \neq 0$ है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$p$ तथा $q$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य $($co-prime$)$ है।
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$
$$या $b = a\sqrt{2}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर
$b^2 = 2a^2$
या $a^2 = \frac{b^{2}}{2}$
यहाँ $2b^2$ को विभाजित करता है अत: $2, b$ को भी विभाजित करेगा। $...(1)$
अत: $b = 2c$ माना [क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है।]
$b^2= 2a^2$ में $b = 2c$ रखने पर
$\Rightarrow (2c)^2 = 2a^2$
$\Rightarrow 4c^2 = 2a^2$
$\Rightarrow 2c^2 = a^2$
$\Rightarrow c^2 = \frac{a^{2}}{2}$
यहाँ $2a^2$ को विभाजित करता है अत: $2a$ को भी विभाजित करेगा। $...(2)$
समीकरण $(1)$ तथा $(2)$ से हम पाते है कि $2a$ तथा $b$ दोनों को विभाजित करता है जिसमें $2$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ तथा $b$ में $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है,
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसके विपरीत मान लीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ $p$ तथा $q $ दो पूर्णांक है और $q \neq 0$ है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$p$ तथा $q$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य $($co-prime$)$ है।
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$
$$या $b = a\sqrt{2}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर
$b^2 = 2a^2$
या $a^2 = \frac{b^{2}}{2}$
यहाँ $2b^2$ को विभाजित करता है अत: $2, b$ को भी विभाजित करेगा। $...(1)$
अत: $b = 2c$ माना [क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है।]
$b^2= 2a^2$ में $b = 2c$ रखने पर
$\Rightarrow (2c)^2 = 2a^2$
$\Rightarrow 4c^2 = 2a^2$
$\Rightarrow 2c^2 = a^2$
$\Rightarrow c^2 = \frac{a^{2}}{2}$
यहाँ $2a^2$ को विभाजित करता है अत: $2a$ को भी विभाजित करेगा। $...(2)$
समीकरण $(1)$ तथा $(2)$ से हम पाते है कि $2a$ तथा $b$ दोनों को विभाजित करता है जिसमें $2$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ तथा $b$ में $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है,
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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