Question
सिद्ध कीजिए कि $ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a) $ है।
✓
Answer
हमें सिद्ध करना है कि
$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a) $
$ =(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 $
$ =(a+b+c)^3-\left(a^3+b^3+c^3\right) $
$ =(a+b+c)^3-(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)-3 a b c$
[सर्वसमिका $\left(a^3+b^3+c^3-3 a b c\right)=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$ से]
$ =(a+b+c)\left[(a+b+c)^2-\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)\right]-3 a b c $
$ =(a+b+c)\left[a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a-a^2-b^2-c^2+a b+b c+c a\right]-3 a b c$
[सर्वसमिका $(a+b+c)^2=\left(a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a\right)$ से]
$ =(a+b+c)[3 a b+3 b c+3 c a]-3 a b c $
$ =3(a+b+c)(a b+b c+c a)-3 a b c $
$ =3\left(a^2 b+a b^2+a b c+a b c+b^2 c+b c^2+c a^2+a b c+c^2 a-a b c\right) $
$ =3\left(a^2 b+a b^2+b^2 c+b c^2+c a^2+c^2 a+2 a b c\right) $
$ =3\left(a b c+b^2 c+c^2 a+c^2 b+a^2 b+a b^2+c a^2+a b c\right) $
$ =3\left(a b+b^2+c a+c b\right)(c+a) $
$ =3(a+b)(b+c)(c+a)=$ दायाँ पक्ष
$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a) $
$ =(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 $
$ =(a+b+c)^3-\left(a^3+b^3+c^3\right) $
$ =(a+b+c)^3-(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)-3 a b c$
[सर्वसमिका $\left(a^3+b^3+c^3-3 a b c\right)=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$ से]
$ =(a+b+c)\left[(a+b+c)^2-\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)\right]-3 a b c $
$ =(a+b+c)\left[a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a-a^2-b^2-c^2+a b+b c+c a\right]-3 a b c$
[सर्वसमिका $(a+b+c)^2=\left(a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a\right)$ से]
$ =(a+b+c)[3 a b+3 b c+3 c a]-3 a b c $
$ =3(a+b+c)(a b+b c+c a)-3 a b c $
$ =3\left(a^2 b+a b^2+a b c+a b c+b^2 c+b c^2+c a^2+a b c+c^2 a-a b c\right) $
$ =3\left(a^2 b+a b^2+b^2 c+b c^2+c a^2+c^2 a+2 a b c\right) $
$ =3\left(a b c+b^2 c+c^2 a+c^2 b+a^2 b+a b^2+c a^2+a b c\right) $
$ =3\left(a b+b^2+c a+c b\right)(c+a) $
$ =3(a+b)(b+c)(c+a)=$ दायाँ पक्ष
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