Question
सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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Answer
सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ अपरिमेय संख्या हैं।
इसके विपरीत मान लीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q $\neq$ 0 है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ a और b सहअभाज्य (co-prime) है।
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$
या b = a$\sqrt{2}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर
b2 = 2a2
या a2 = $\frac{b^{2}}{2}$
यहाँ 2b2 को विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा। ...(1)
अत: b = 2c माना [क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है।]
b2 = 2a2 में b = 2c रखने पर
$\Rightarrow$ (2c)2 = 2a2
$\Rightarrow$ 4c2 = 2a2
$\Rightarrow$ 2c2 = a2
$\Rightarrow$ c2 = $\frac{a^{2}}{2}$
यहाँ 2a2 को विभाजित करता है अत: 2a को भी विभाजित करेगा। ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है,
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसके विपरीत मान लीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q $\neq$ 0 है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ a और b सहअभाज्य (co-prime) है।
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$
या b = a$\sqrt{2}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर
b2 = 2a2
या a2 = $\frac{b^{2}}{2}$
यहाँ 2b2 को विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा। ...(1)
अत: b = 2c माना [क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है।]
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$\Rightarrow$ (2c)2 = 2a2
$\Rightarrow$ 4c2 = 2a2
$\Rightarrow$ 2c2 = a2
$\Rightarrow$ c2 = $\frac{a^{2}}{2}$
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समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है,
अत: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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