Question
सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
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Answer
आइये कल्पना करें कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। मान लीजिए $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ = a, जहाँ a एक परिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}=a-\sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:-
$2 = a^2 + 3 - 2a$$\sqrt{3}$
अत:, $\sqrt{3}=\frac{a^{2}+1}{2 a}$ है, जिससे एक विरोधाभास या अंतर्विरोध (contradiction) प्राप्त होता है, क्योंकि दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है जबकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}=a-\sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:-
$2 = a^2 + 3 - 2a$$\sqrt{3}$
अत:, $\sqrt{3}=\frac{a^{2}+1}{2 a}$ है, जिससे एक विरोधाभास या अंतर्विरोध (contradiction) प्राप्त होता है, क्योंकि दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है जबकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
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