Question
सिद्ध कीजिए कि $ \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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Answer
इसके विपरीत मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q $\neq$ 0 है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\sqrt{5}$
यदि p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\sqrt{5}$ = $\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ a और b सहअभाज्य (co-prime) है।
अत:
$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$
या $\sqrt{5}$ b = a
दोनों तरफ वर्ग करने पर
5b2 = a2
या b2 = $\frac{a^{2}}{5}$
यहाँ 5a2 को विभाजित करता है अत: 5a को भी विभाजित करेगा। ...(1)
अत: a = 5c माना [क्योंकि a5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुणनखंड है।]
5b2 = a2 में a = 5c रखने पर
$\Rightarrow$ 5b2 = (5c)2
$\Rightarrow$ 5b2 = 25c2
$\Rightarrow$ b2 = 5c2
$\Rightarrow$ c2 = $\frac{b^{2}}{5}$
यहाँ 5b2 को विभाजित करता है अत: 5b को भी विभाजित करेगा। ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है।
अत: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q $\neq$ 0 है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\sqrt{5}$
यदि p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\sqrt{5}$ = $\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ a और b सहअभाज्य (co-prime) है।
अत:
$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$
या $\sqrt{5}$ b = a
दोनों तरफ वर्ग करने पर
5b2 = a2
या b2 = $\frac{a^{2}}{5}$
यहाँ 5a2 को विभाजित करता है अत: 5a को भी विभाजित करेगा। ...(1)
अत: a = 5c माना [क्योंकि a5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुणनखंड है।]
5b2 = a2 में a = 5c रखने पर
$\Rightarrow$ 5b2 = (5c)2
$\Rightarrow$ 5b2 = 25c2
$\Rightarrow$ b2 = 5c2
$\Rightarrow$ c2 = $\frac{b^{2}}{5}$
यहाँ 5b2 को विभाजित करता है अत: 5b को भी विभाजित करेगा। ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है।
अत: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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