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सदिश बीजगणित — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question

CBSE Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसदिश बीजगणित2 Marks
Question
सिद्ध कीजिए कि $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})$ = $|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$, यदि और केवल यदि $\vec{a}$, $\vec{b}$ लंबवत् हैं। यह दिया हुआ है कि $\vec{a}$ $\neq$ $\vec{0}$, $\vec{b}$ $\neq$ $\vec{0}$.
✓

Answer

दिया है, $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
$\Rightarrow \vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
$\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}\cdot \vec{a} + \vec{b}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
$\Rightarrow |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$
$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 [\because \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b}\cdot \vec{a} (\because$ अदिश गुणन क्रमविनिमेय है।$))$
$\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$\therefore \vec{a}$ तथा $\vec{b}$ लंबवत् हैं। $($दिया गया है, $a \neq 0, b \neq 0)$

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