sine फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए।
EXAMPLE-17
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इस पर विचार करने के लिए हम निम्नलिखित तथ्यों का प्रयोग करते हैं:
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \sin x$ = 0
हमने इन तथ्यों को यहाँ प्रमाणित तो नहीं किया है, किन्तु sine फलन के आलेख को शून्य के निकट देख कर ये तथ्य सहजानुभूति (intuitively) से स्पष्ट हो जाता है।
अब देखिए कि f(x) = sin x सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए कि c एक वास्तविक संख्या है। x = c + h रखने पर, यदि x $\rightarrow$ c तो हम देखते हैं कि h $\rightarrow$ 0 इसलिए
$\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c} \sin x$
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sin $ (c + h)
= $ \lim \limits_{h \rightarrow 0}[\sin c \cos h$ + $ \cos c \sin h]$
= sin c + 0 = sin c = f(c)
इस प्रकार $ \lim \limits_{x \rightarrow c} $ f(x) = f(c) अतः f एक संतत फलन है।
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \sin x$ = 0
हमने इन तथ्यों को यहाँ प्रमाणित तो नहीं किया है, किन्तु sine फलन के आलेख को शून्य के निकट देख कर ये तथ्य सहजानुभूति (intuitively) से स्पष्ट हो जाता है।
अब देखिए कि f(x) = sin x सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए कि c एक वास्तविक संख्या है। x = c + h रखने पर, यदि x $\rightarrow$ c तो हम देखते हैं कि h $\rightarrow$ 0 इसलिए
$\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c} \sin x$
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sin $ (c + h)
= $ \lim \limits_{h \rightarrow 0}[\sin c \cos h$ + $ \cos c \sin h]$
= sin c + 0 = sin c = f(c)
इस प्रकार $ \lim \limits_{x \rightarrow c} $ f(x) = f(c) अतः f एक संतत फलन है।
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