सांतत्य तथा अवकलनीयता — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question
CBSE Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसांतत्य तथा अवकलनीयता2 Marks
Question
sine फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए।
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Answer
इस पर विचार करने के लिए हम निम्नलिखित तथ्यों का प्रयोग करते हैं: $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \sin x$ = 0 हमने इन तथ्यों को यहाँ प्रमाणित तो नहीं किया है, किन्तु sine फलन के आलेख को शून्य के निकट देख कर ये तथ्य सहजानुभूति (intuitively) से स्पष्ट हो जाता है। अब देखिए कि f(x) = sin x सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए कि c एक वास्तविक संख्या है। x = c + h रखने पर, यदि x $\rightarrow$ c तो हम देखते हैं कि h $\rightarrow$ 0 इसलिए $\lim \limits_{x \rightarrow c}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow c} \sin x$ = $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \sin $ (c + h) = $ \lim \limits_{h \rightarrow 0}[\sin c \cos h$ + $ \cos c \sin h]$ = sin c + 0 = sin c = f(c) इस प्रकार $ \lim \limits_{x \rightarrow c} $ f(x) = f(c) अतः f एक संतत फलन है।
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