Question
समीकरण $2({a^2} + {b^2}){x^2} + 2(a + b)x + 1 = 0$ के मूल हैं
$2({a^2} + {b^2}){x^2} + 2(a + b)x + 1 = 0$
माना $A = 2({a^2} + {b^2}),B = 2(a + b)$एवं $C = 1$
${B^2} - 4AC = 4({a^2} + {b^2} + 2ab) - 4\,.2({a^2} + {b^2})\,1$
$ \Rightarrow {B^2} - 4AC = - 4{(a - b)^2} < 0$
अत: दिये गये समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।
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$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;
$E _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र वाला दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a _{ n }^2}+\frac{ y ^2}{ b _{ n }^2}=1$ जो $R _{ n -1}, n >1$ में अंतर्स्थित है ;
$R _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर है, और जो $E _{ n }, n >1$ में अंतस्थित है। तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?
$(1)$ $E _{18}$ और $E _{19}$ की उत्केन्द्रतायें (eccentricities) समान नहीं है
$(2)$ $E _{ o }$ में केन्द्र से एक नाभि (focus) की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E _9$ के नाभिलम्ब (latus rectum) की लम्बाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है