Solve the following quadratic equations by factorization: a x-a +…

Question

Solve the following quadratic equations by factorization:
$\frac{\text{a}}{\text{x}-\text{a}}+\frac{\text{b}}{\text{x}-\text{b}}=\frac{2\text{c}}{\text{x}-\text{c}}$

✓

Answer

We have
$\Rightarrow\frac{\text{a}}{\text{x}-\text{a}}+\frac{\text{b}}{\text{x}-\text{b}}=\frac{2\text{c}}{\text{x}-\text{c}}$
$\Rightarrow\frac{\text{a}(\text{x}-\text{b})+\text{b}(\text{x}-\text{a})}{(\text{x}-\text{a})(\text{x}-\text{b})}=\frac{2\text{c}}{\text{x}-\text{c}}$
$\Rightarrow\frac{\text{ax}-\text{ab}+\text{bx}-\text{ab}}{\text{x}^2-\text{ax}-\text{bx}+\text{ab}}=\frac{2\text{c}}{\text{x}-\text{c}}$
$\Rightarrow(\text{x}-\text{c})((\text{a}+\text{b})\text{x}-2\text{ab})\\=2\text{c}(\text{x}^2-(\text{a}+\text{b})\text{x}+\text{ab})$
$\Rightarrow(\text{a}+\text{b})\text{x}^2-2\text{abx}-(\text{a}+\text{b})\text{cx}+2\text{abc}\\=2\text{cx}^2-2\text{c}(\text{a}+\text{b})\text{x}+2\text{abc}$
$\Rightarrow(\text{a}+\text{b}-2\text{c})\text{x}^2-2\text{abx}-(\text{a}+\text{b})\text{xc}+2\text{c}(\text{a}+\text{b})\text{x}=0$
$\Rightarrow(\text{a}+\text{b}-2\text{c})\text{x}^2+\text{x}(-2\text{ab}-\text{ac}-\text{bc}+2\text{ac}+2\text{bc})=0$
$\Rightarrow(\text{a}+\text{b}-2\text{c})\text{x}^2+\text{x}(-2\text{ab}+\text{ac}+\text{bc})=0$
$\Rightarrow\text{x}\big[\text{x}(\text{a}+\text{b}-2\text{c})+(\text{ac}+\text{bc}-2\text{ab})\big]=0$
$\Rightarrow\text{x}=0$ or $\text{x}=-\frac{(\text{ac}+\text{bc}-2\text{ab})}{\text{a}+\text{b}-2\text{c}}$
$\Rightarrow\text{x}=\frac{2\text{ab}-\text{ac}-\text{bc}}{\text{a}+\text{b}-2\text{c}}$
$\therefore\text{x}=0$ and $\text{x}=\frac{2\text{ab}-\text{ac}-\text{bc}}{\text{a}+\text{b}-2\text{c}}$ are the two roots of the given given equation.
$\Rightarrow\frac{\text{a}}{\text{x}-\text{a}}+\frac{\text{b}}{\text{x}-\text{b}}=\frac{2\text{c}}{\text{x}-\text{c}}$
$\Rightarrow\frac{\text{a}(\text{x}-\text{b})+\text{b}(\text{x}-\text{a})}{(\text{x}-\text{a})(\text{x}-\text{b})}=\frac{2\text{c}}{\text{x}-\text{c}}$
$\Rightarrow\frac{\text{ax}-\text{ab}+\text{bx}-\text{ab}}{\text{x}^2-\text{ax}-\text{bx}+\text{ab}}=\frac{2\text{c}}{\text{x}-\text{c}}$
$\Rightarrow(\text{x}-\text{c})((\text{a}+\text{b})\text{x}-2\text{ab})\\=2\text{c}(\text{x}^2-(\text{a}+\text{b})\text{x}+\text{ab})$
$\Rightarrow(\text{a}+\text{b})\text{x}^2-2\text{abx}-(\text{a}+\text{b})\text{cx}+2\text{abc}\\=2\text{cx}^2-2\text{c}(\text{a}+\text{b})\text{x}+2\text{abc}$